理论力学问题集--看似简单的小试验.pdf

7th 6th 竞赛 顾此失彼的挑战者 魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验 如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的 问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆 球O1 和O2 ；一个滚轴D ；一个透明的水晶平板AB ，A 端水平 固定在墙中，不考虑自重时AB 板与水平面平行。在表演时，滚 轴D 可以根据需要安装在AB 板的任意位置，且A 与D总在同 一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l ，单位长度重量 为q ，弯曲刚度为EI 。两均质水晶圆球的半径均为r ，重量均为 P=ql 。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑 动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现， 水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D ，水晶球在板上 可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下： （1）如果把滚轴D安装在AB 板的 B 处，此时AB 板由于自重所导致 的最大挠度在何处？ （2 ）如果把滚轴D安装在AB 板之 间的某处，有可能使水晶球O1 在板 上静止，且球与板的接触点恰好是B 点。如果不需要具体计算 ，如何说明滚轴D 是更靠近A 点还是更靠近B 点？定性画出此时 AB 板挠度的示意图。 （3 ）如果把滚轴D安装在AB 板的中点，能否让水晶球O1 在 AD 之间某位置平衡，接触点为C ；同时让水晶球O 在DB之 1 2 间某位置平衡，接触点为C2 。观众试着摆弄了很久，总是顾 此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，AC 1 和 AC2 的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ 技高一筹的魔术师 • 魔术正式开始，魔术师首先撤去了滚轴D ，观众看到两 个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B 端掉 下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相 同位置，掉下去所需时间却明显不同。 • 魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同， 但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。 说完在后落下的水晶球O1 表面贴上了小纸片以示区别 （假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。 • 只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入 其中，然后小心地把贴有纸片的O 球静止放在板上（接 1 触点为B 点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶 球O 竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B 点。 1 技高一筹的魔术师 • 在观众的掌声中，魔术师撤走了O 球，把O 球拿了起 1 2 来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1 分钟。 ”魔术师说完把O 球转了转，然后更加小心地把O 球 2 2 也放在板上（接触点为B 点）。观众发现，O 球在B 2 点停留了大约1 分钟，然后在没有外界干扰的情况下突 然从板上B 端掉了下来…… （1）根据题目叙述，试判断出哪个水晶球涂了新型材料？ 解：水晶球O 涂了新型材料，光滑，先落下。 2 （2 ）水晶球O 可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理 1 ，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必 要条件或关系。 解：纸片的重量虽是小量，但是由于板的弯曲也是小量， 因此纸片对平衡有重要影响。由于纸片有重量，只要球 与纸的的重心位置在接触点的上方，并且只要接