相对论多普勒效应的讨论.doc

相对论多普勒效应的讨论 陈其翔 email： HYPERLINK mailto:chqx@bbn.cn chqx@bbn.cn [摘要] 相对论关于光波频率的洛仑兹变换式在几种文献[1,2,3,4]中出现了不同的表达式，引起一些人的疑问。本文经深入分析后, 得出这些表达式都是正确的, 差别来源于所用变量θ不同, 并反映不同的物理意义。 [关键词] 相对论，多普勒效应，动钟变慢，光子能量 Einstein在1905年建立狭义相对论的《论动体的电动力学》[1]一文中，得出了光学多普勒效应的频率变换式。当光源靠近观察者, 频率变快为兰移；当光源远离观察者, 频率变慢为红移；当光源作横向运动时，频率也变快为兰移。国外一些专著[2]，得出一致的结果。 Einstein在1952年《狭义与广义相对论浅说》[3]一书中讲解动钟变慢时, 给出了运动钟的时率变慢公式： 。与光源作横向运动时频率变快相比，此二者都是讲频率变化，从公式表达上看似乎有矛盾。但从后面的分析看，二者都可从光波的洛仑兹变换求得，二者都是正确的。 国内一些专著，例如刘辽，费保俊，张允中编著的《狭义相对论》文献[4]。在讨论光学多普勒效应频率变换时，与Einstein [1]给出的公式相比，当光源作横向运动时，得出了不同的结果：文献[1]为兰移，文献[4]为红移。这是因为文献[4]的频率变化公式中用θ角作变量，而文献[1]是用θ’角作变量。不能由此判断何对何错，二者均为正确的，并且反映出不同的物理意义。 Einstein 1905年原著文献[1]中的推导步骤过于简化，文献[2]中的推导，采用矢量洛仑兹变换，又过于复杂，一般读者阅读时不易看懂。本文所作推演，只采用简单的洛仑兹变换式，一般读者均可接受。 设两个惯性系S(x, y, z, t)和S’(x’,y’, z’, t’)，坐标轴各相互平行， S’沿S系x轴正向以匀速v运动, 两惯性系之间的洛仑兹变换为： x’ =γ(x－v t)，γ=(1－β2 )-1/ 2, β= v / c y ’ = y , z ’ = z ，t ’ =γ(t－xv /c2) . （1） 光源静止于S’系, 位于两系x, y平面内, 其位置用矢径r和r’ 表示： r = r∠θ, x = r cosθ，y = r sinθ， （2） r’ = r’∠θ?’ , x’ = r’cosθ’，y’ = r’ sinθ’ （3） r = x cosθ＋y sinθ , r’ = x’cosθ’＋y’ sinθ’ . （4） 在光源静止的坐标系S’中，光波的频率为?’，而在观察坐标系S中，光波的频率为?。光波在两坐标系中沿矢径r和r’作反向传播, 按洛仑兹变换，分别表示为： Ψ＝Ψ0 exp[??π?( t＋r /c)] , （5） Ψ’＝Ψ’0 exp[??π?’( t’＋r’/c)] . （6） 在洛仑兹变换下，相位应为不变量。将r = x cosθ＋y sinθ 代入 ?( t＋r /c)， 再将r’ = x’cosθ’＋y’ sinθ’ 代入?’ (t’＋r’/c) ，并对t’, x’, y’运用洛仑兹变换。 比较两展开式中 t, x, y 的系数,得 ?/?’= (1－βcosθ’) / (1－β2)1/2， （7） cosθ= (cosθ’－β) /(1－βcosθ’) （8） sinθ= sinθ’/γ(1－βcosθ’) . （9） 频率变化公式 (7) 与Einstein文献[1] 给出的公式相符，物理概念很明确，公式中的分子为普通非相对论多普勒效应的频率变换式，分母为按相对论由洛仑兹变换引入的因子。当光源远离观察者运动时，即光源位于S’系x’轴，x’＞0处,θ’ = 0，频率变慢为红移： ?/ ?’ = (1－β)1/2/(1＋β)1/2, （10） 当光源朝向观察者运动时，即光源位于S’系x’轴，x’＜0处,θ’ =π，频率变快为兰移： ?/ ?’ = (1＋β)1/2/ (1－β)1/2, （11） 当光源作横向运动时，即光源位于S’系y’轴，y’＞0处,θ’ =π/2，频率变快为兰移，反映光子在S系能量增大： ?????????/ ?’ =1/(1－β2)1/2. （12）