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小学五年级仁华思维导引格点与割补
正方形格点阵中多边形面积的计算公式,出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题,以及借助构造格点阵求解的几何问题.通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题.
1.如图6-1,每一个小方格的面积都是l平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N+-1)×单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:(4+-1)×1=6.5(平方厘米)
方法二:如下图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1.5,
②=2÷2=1,③=2÷2=1,④=2÷2=1,⑤=2÷2=l,⑥=2÷2=1,还有三个小正方形,所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为:16-9.5=6.5平方厘米.
2.如图6-2,如果每一个小三角形的面积是1平方厘米,那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米?
【分析与解】方法一:正三角形方形格点阵中多边形面积公式:(2N+L-2)x单位正三角形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.
有N=9,L=4,所以用粗线围成的图形的面积为:(9×2+4-2)×1=20(平方厘米).
方法二:如下图,我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个,而将不完整的小正三角形分成4部分计算,其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2,②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2,8,6,所以②、③、④部分的面积分别为1,4,3.所以粗实线内图形的面积为lO+2+1+4+3=20(平方厘米).
3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图,图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图,那么,第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几?第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几?
【分析与解】 如下图,我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.
设整个七巧板组成的正方形的边长为1,显然整幅图形的面积为1,且有第2块的面积为××=.
有=,===2,有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为,所以=,=.
所以第2块板的面积等于整幅图面积的,第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的+=.
4.把正三角形每边三等分,将各边的中间段取来向外面作小正三角形,得到一个六角形.再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分,又以它们的中间段向外作更小的正三角形,这样就得到图6-5所示的图形.如果这个图形面积是1,那么原来的正三角形面积是多少?
【分析与解】 方法一:如右图,我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形,由40块小正三角形组成图6-5,而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形.
120块小正三角形的面积为1,所以每块为,那么原来的正三角形由81块小正三角形组成,其面积显然为.
方法二:如下图,我们把图6-5中的三角形分成A、B、C三种,设A形正三角形面积为“1”,则B、C两种正三角形的面积依次为“”、“”.
在图6-5中,A种、B种、C种正三角形的个数依次为1,3,12,所以图6-5中图形的面积为1+3×+12×=.所以有“1”对应,而原来的正三角形即为三角形A,所以原来的正三角形的面积为.
5.如图6-6,正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米,M是AB中点,N是CD中点,P是EF中点.问:三角形MNP的面积是多少平方厘米?
【分析与解】 如下图,我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形,有正六边形ABCDEF包含有24个小正三角形,而阴影部分MNP包含有9个小正三角形.
正六边形ABCDEF的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6÷24=,所以三角形MNP的面积为9×=2.25(平方厘米).
6.把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分,适当连接这些分点,便得到了若干个面积相等的小三角形.已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米,那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米?
【分析与解】 在图6-7中,原正三角形被分成25个小正三角形,而阴影部分含有12个小正三角形,所以每个小正三角形的面积为294÷12=24.5,所以原正三角形的面积为24.5×25=612.5(平方分米).
而在图6-8中,原正三角形被分成49块,而阴影部分含有16块,所以阴影部分的面积为612.5÷49×16=
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