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九讲()机器人动力学拉格朗日方程
牛顿—欧拉方程实例 例2:如图所示为两杆平面机器人,为了简单起见,我们假设每个杆件的质量集中于杆件的前尾部,其大小为m1和m2。 牛顿—欧拉方程实例 末端执行器上无作用力,所以: 牛顿—欧拉方程实例 应用递推公式有: 向前:1杆件: 牛顿—欧拉方程实例 2杆件: 牛顿—欧拉方程实例 牛顿—欧拉方程实例 向后递推: 2杆件: 牛顿—欧拉方程实例 取力矩的Z分量,得到关节力矩: 牛顿—欧拉方程实例 牛顿—欧拉方程实例 通常,机器人的动力学方程常写为抽象的形式,令: 机器人机构动力学方程 有: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 例3:对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方法建立动力学方程。 解: 1、动能和势能 连杆1的动能为: 设Y0=0为零势面,则连杆1的 势能为: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 质量m2的位置表示为: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 2、拉格朗日函数 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 代入: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 步骤总结: 1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri,它在基坐标系中的位置为: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方: 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 2、求系统动能 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4、计算拉格朗日函数 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 * * * * 解:每个杆件的质量中心矢量为: 由于点质量假设,每个杆件相对质心的惯性张量为零,即: 基座静止,因此: 考虑到引力,我们使用: 惯性力 惯性力矩 1杆件: 整理得: 离心力 科氏力 称 为惯量阵, 是离心力、科氏力等相关部分, 为重力部分。 因为 中仅有速度和位形,上述方程也称状态空间方程。 特点: 多变量、时变、非线性、强耦合。 其中: 为广义坐标向量, 为广义力向量。 拉格朗日方程是基于能量项(动能T、势能V)对系统变量及时间的微分而建立的。 对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿—欧拉方程法更显复杂,然而随着系统复杂程度的增加,拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。 —系统的动能 和位能 之差,称为拉格朗日函数,即: 系统拉格朗日方程为: 式中: ——系统的广义坐标数 ——作用在第i个广义坐标上的广义 力或广义力矩 ——第i个广义坐标 ——第i个广义速度 则质量M2的速度平方为: 所以,M2动能为: 速度分量为: 势能为: 3、动力学方程 广义坐标为 对应的广义外力为作用于的关节上的驱动力距 。 比较例2与例3可知,用牛顿-欧拉法与拉格朗 日法得到的结果是相同的。 其中,Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变换矩阵。 那么,该点的速度为: 3、求系统位能 5、代入拉格朗日方程 作用在关节上的广义力为:
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