三角函数最值问题的几种常见解法().PDFVIP

三角函数最值问题的几种常见解法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高 中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应 用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三 角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求 一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的 方法： 一 配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2 时，一般就需要通过配方 或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1 函数y sin2 x 3cos x 3 的最小值为（ ）. 1 A ． 2 B . 0 C .  D . 6 4 [分析]本题可通过公式sin2 x 1cos2 x 将函数表达式化为y cos2 x 3cos x 2 ， 因含有 cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t ，则1 t  1,y t 2 3t 2, 配方，得 2  3 1 y t    , 1 t  1,当t=1 时,即cosx=1 时，y min 0 ,选B.  2 4 例2 求函数y=5sinx+cos2x 的最值 [分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍 角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 2  2  2  5 33 y 5sin x  12 sin x 2 sin x  5sin x  1 2 sin x      4  8  81 33 1 sin x  1, sin x 1,x 2k  ,k z ,y min 2   6 2 16 8  1 33 sin x 1x 2k  ,k z ,y max 2   4 2 16 8 二 引入辅助角法 1 2 3   例3 已知函数y cos x  sin x cos x 1 x R 当函数y 取得最大值时，求自变 2 2 量x 的集合。 1 [分析] 此类问题为y a sin2 x b sin x cos x c cos2 x 的三角函数求最值问题， 它可通过降次化简整理为y a sin x b cos x 型求解。 解 ： 1 1 cos 2x 3 sin 2x