- 1、本文档共6页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
- 5、该文档为VIP文档,如果想要下载,成为VIP会员后,下载免费。
- 6、成为VIP后,下载本文档将扣除1次下载权益。下载后,不支持退款、换文档。如有疑问请联系我们。
- 7、成为VIP后,您将拥有八大权益,权益包括:VIP文档下载权益、阅读免打扰、文档格式转换、高级专利检索、专属身份标志、高级客服、多端互通、版权登记。
- 8、VIP文档为合作方或网友上传,每下载1次, 网站将根据用户上传文档的质量评分、类型等,对文档贡献者给予高额补贴、流量扶持。如果你也想贡献VIP文档。上传文档
查看更多
专题三有关矩阵的秩与矩阵分解.doc
专题讲座三 有关矩阵的秩及其应用
在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解的情况等都有着密切的联系。
一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩。另外,矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数,这是矩阵的秩的行列式定义。事实上,以上两种对矩阵的秩的定义是等价的。
我们约定用E表示单位矩阵,分别用表示矩阵A的可逆矩阵、伴随矩阵和矩阵A的秩。矩阵的秩有以下的几个简单的性质:
(1)r (A) = 0,当且仅当A是零矩阵;
(2)r (A) = n,当且仅当 |A|≠0 ;
(3)设A是m×n矩阵,则r (A)≤min (m, n)
(4)
(5)
矩阵可以进行加法、减法、数乘、乘法、阶乘、伴随等一系列运算。而矩阵经过运算后所得到新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定的关系。
定理1 两矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和。即:设A、B均为m×n矩阵,则
r (A+B)≤ r (A) + r (B)
推论1 两矩阵差的秩的不小于两矩阵秩的差。即:设A、B均为m×n矩阵,则
r (A – B)≥r (A) – r (B)
推论2 设均为m×n矩阵,且,则
证明:由定理1得
定理2 矩阵的乘积的秩不超过各因子的秩。即:设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,则
r (AB)≤min {r (A), r (B)}
定理3 设A是m×n矩阵,P是m阶可逆矩阵,Q是n阶可逆矩阵,则
r (A) = r (PA) = r (AQ) = r (PAQ)
推论 设A是是m×n矩阵,则r (A) = r,当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
利用分块矩阵证明秩的若干性质
关于矩阵秩的一些性质的证明,有着多种方法。若充分利用分块矩阵来证明,虽然带有一定的技巧性,但不并难想,尤其是,这种方法的证明本身显得非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性。
定理4 设A、B均为n阶方阵。则
r (AB + A + B)≤r (A) + r (B)
证明:由分块矩阵的乘法得
由定理2得
故
定理5 设A、C均为m×n矩阵,B、D均为n×s矩阵,则
r (AB – CD)≤r (A – C) + r (B – D)
证明:由分块矩阵的乘法得
其中是可逆矩阵。
由定理3得
故。
定理6 (Frobenius不等式)
设A是m×n矩阵,B是n×s矩阵,C是s×t矩阵。则
r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B)
证明:由分块矩阵的乘法得
由定理2得
因为
所以 r (AB) + r (BC)≤r (B) + r (ABC)
即 r (ABC)≥r (AB) + r (BC) – r (B) .
若A为n阶矩阵,分别用代替Frobenius不等式中的A、B、C,即得以下推论1
推论1 设A是n阶方阵,m,k为非负整数,则。
证明:对m用数学归纳法。
当m = 0时,不等式显然成立。
由Frobenius不等式得
所以当m = 1时不等式成立。
假设当m = k时不等式成立,即
于是
所以当m = k + 1时不等式也成立。
故。
定理7 设A是n阶方阵,且
则对任意自然数k,有
证明:
构造分块矩阵
由Frobenius公式
由
所以
由定理2得
故
由此可推得
故对任意自然数k,有
定理8 设A是m×n矩阵,r (A) = r ,则必存在m×r矩阵B与r×n矩阵C,且
r (B) = r (C) = r ,使A = BC。
证明:因为,由定理3的推论得存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得
将P、Q分块:
其中矩阵,矩阵。
因为P、Q分别是m阶和n阶可逆矩阵。所以P的m个列向量线性无关,Q的n个行向量也线性无关,从而B的r个列向量线性无关,C的r个行向量也线性无关。
故 r (B) = r (C) = r ,且。
推论1 设A是n阶方阵,则r (A)≤1,当且仅当A可以表示为一个n×1矩阵和一个1×n矩阵的乘积。
证明: (充分性)
设
则A的任何一个二阶子式
其中1≤i m≤n,1≤jk≤n
所以 r (A)≤1。
(必要性)
若r (A) = 0,即A是零矩阵,则显然有
命题成立。
若r (A) = 1,则存在n×1矩阵B和1×n矩阵C,且r (B) = r (C) = 1,使A = BC。
推论2 设A是n阶方阵,且r (A) = 1,则。
证明:由推论1得,存在n×1矩阵和1×n矩阵,使得
于是
其中
故
矩阵的秩的内容是非常丰富的,其应用是十分广泛的,证明矩阵秩的有关性质,除了利用分块矩阵以外,它
您可能关注的文档
- 三峡库区碎石土滑坡地下水浸润线监测频率及其误差研究.PDF
- 三探头MDT测试储层适应性研究-断块油气田.PDF
- 三相电源绕组的三角形联结.ppt
- 三种预测误差图-第三军医大学学报.doc
- 三等考试交通警察人员.PDF
- 三角函数最值问题的几种常见解法().PDF
- 三角函数的性质及三角恒等变换.doc
- 三角形外角与内角的关系.ppt
- 三角高程测量-河北省地理信息局.doc
- 三边形-安溪县金火中学.ppt
- 2024年中国钽材市场调查研究报告.docx
- 2024年中国不锈钢清洗车市场调查研究报告.docx
- 2024年中国分类垃圾箱市场调查研究报告.docx
- 2024年中国水气电磁阀市场调查研究报告.docx
- 2024年中国绿藻片市场调查研究报告.docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(青海西宁卷)数学(带解析).docx
- 2010-2023历年福建厦门高一下学期质量检测地理卷.docx
- 2010-2023历年初中数学单元提优测试卷公式法(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(山东德州卷)化学(带解析).docx
- 2010-2023历年初中毕业升学考试(四川省泸州卷)化学(带解析).docx
最近下载
- 2024 ESC心房颤动管理指南解读(全)校对版.pptx
- 期末实验必刷题(含基础,重点,难点)(解析版)-2023-2024学年九年级物理第一学期期末挑战满分训练.docx VIP
- 高考模拟作文“互联网时代的决策之道:信息与理性”审题立意及范文-备战2025年高考语文各地名校模考卷作文导写.docx
- 检维修安全培训.pptx VIP
- 1一个投机者的告白.doc
- 钣金工艺学课件(PPT-83页).ppt
- 中华体育精神的文化内涵与思想来源.docx VIP
- 2023惠州西湖壹城购物中心项目招商手册-41P.pdf
- 第八章 第19节 极点与极线-解析版.docx
- 15ZJ001_建筑构造用料做法.docx
文档评论(0)