19讲 拉普拉斯反演.ppt

§6.2 拉普拉斯变换的反演 所以 * 本节内容： 1、拉普拉斯反演的两种方法：基本公式法、普适法 2、基本公式法包括： §6.1所有例题对应的原函数 所有拉普拉斯变换性质对应的原函数 分式展开组合 幂级数展开组合 3、普适法(闭回路积分法)：黎曼-梅林反演公式 4、推广的约当引理 拉普拉斯变换主要用于求解微积分方程。具体步骤是： (1)通过变换将原函数的微积分方程变为像函数的代数方程， (2)解代数方程，求解出像函数的解， (3)通过反演得到原函数的解。 通常拉普拉斯反演可分为基本公式法与普适法。 一、基本公式法：通过变换性质将像函数分解为一系列已有结 果的组合。 解： 1、 §6.1所有例题对应的原函数, 2、所有拉普拉斯变换性质对应的原函数。 例1：求 令 由卷积定理得所求原函数为： 例2：求 解法1：像微分 利用像微分定理： 解法2：利用§6.1 例3： 解法3：位移定理 3、分式展开 例1：求 解： 比较系数得： 故： 例2：求 法1： 比较系数： 法2：卷积定理 （分部积分） (也可颠倒f1和f2) 此为第一类零阶贝塞尔函数。 4、幂级数展开 例：求 解： 用二项式展开像函数 二、普适法(闭回路积分法)：黎曼-梅林反演公式 该积分路径是p平面上平行虚轴的一条直线，而在直线的右半平面 像函数是解析的，因此可在左半平面作一个包含直线的闭回路， 利用留数定理求解此积分。 1、推广的约当引理： 设CR是以p=0为圆心，以R为半径的圆周在直线Rep=a0的左侧 的圆弧。若当|p|→∞时，像函数在p/2-d≤Argp≤3p/2+d区域内趋 于0(d0)，则 证明： 作右图回路， 大圆上的积分为 对于第二个积分（ 半圆），令 即p平面的右半圆变换为z平面的上半圆，故 又R→∞时， 由约当引理知： 即第二项积分为0。 对于第一项积分：任给e0，存在M0，当RM时，使得 又R→∞时，a→0， 同理，第三项积分也为0。 当闭回路中包含支点时，还要调整回路，挖去支点。 例：求下列像函数的原函数 解(1):像函在左半平面有4个单极点±ia和±b,对应的留数分别为: 所以所求原函数为：（像函数满足推广的约当引理） 解(2)： 像函在左半平面有2个二阶极点±w，对应的留数分为： 所以所求原函数为： 解(3)： 如右图： 选取闭回路，因 p=0和∞为多值函数的支点，所以 还要作割线l1和l2，除支点外， 回路中再无奇点，故回路积分： 由推广的约当引理知： 由小圆弧引理知： 而在上岸l1和下岸l2上，Argp=±p，故可分别令 则 解(4)： 选取的闭回路同上题，由留数定理得 大、小圆弧上的积分均为0，而上、下岸上的积分分别为 所以，原函数 解(5)： 选取的闭回路同上两题，由留数定理得 大、小圆弧上的积分均为0，而上、下岸上的积分分别为 解：查拉氏变换表可知 其中误差函数 余误差函数定义为 *