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概率论第4讲 第四章　条件概率 独立性 第四章 条件概率 事件的相互独立性及试验的相互独立性 第一节 条件概率 乘法定理 在许多问题中, 我们往往会遇到事件A已经出现的条件下求事件B的概率. 这时由于有了附加条件, 因此称这种概率为事件A出现下事件B的条件概率, 记作P(B|A) 例如, 两台车床加工同一种机械零件如下表: 在古典概型下, 设U={e1,e2,...,en}, 其中导致事件A出现的试验结果有m个, 导致事件B出现的试验结果有k个, 导致事件AB出现的试验结果有r个. 事件A出现, 就是说导致A出现的m个试验结果中有一个出现, 在这条件下导致B出现的试验结果有且仅有r个. 所以 例 100个产品中有60个一等品, 30个二等品, 10个废品. 规定一,二等品都是合格品. 试验: 从100个产品中任抽一个 假设: A,B为抽到的为一,二等品, C为抽到的是合格品, 则C=A+B 则一等品率为P(A)=60/100, 二等品率为P(B)=30/100. 合格率为P(C)=90/100 如果改变试验为: 从合格品中任抽一件, 则合格品中的一等品率为P(A|C)=60/90. 定义1.3 在事件B已经发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为事件A在给定B下的条件概率, 简称为A对B的条件概率, 记作P(A|B). 相应地, 把P(A)称为无条件概率. 这里, 只研究作为条件的事件B具有正概率即P(B)0的情况. 对于条件概率,有控制论和信息论的两种观点 控制论的观点又分两种, 一种是通过控制来改变试验条件, 从而改变某事件的概率. 例如上例中将试验改变为从合格品中任抽一件, 则一等品率发生的概率即发生改变. 另一种是在试验结果中将某事件C发生的结果保留, 将其它的试验结果剔除, 然后再统计某事件A发生的概率P(A|C) 例如, 将上面的试验重复1000次, 如果合格品事件出现了900次, 其中在这900次中一等品出现了600次, 则这时的一等品率为P(A|C)=600/900=2/3. 而信息论的观点涉及到信息传递 这时候可以设置试验场地和信息中心两个地方, 在试验场地的试验员将试验的部分或者全部结果向信息中心的信息员报告. 拿上一个例来讲 在试验开始前试验员和信息员都知道整个试验的设计情况, 因此知道合格品率为P(C)=90/100, 一等品率为P(A)=60. 现在试验员做了一次试验, 但是并没有将全部试验结果报告给信息员, 只是告诉他抽到的是合格品. 则从信息员的角度讲, 他暂时还不知道此产品是一等品还是二等品, 这个时候他从已经获得的信息的条件下的一等品率就已经是P(A|C)=60/90. 条件概率意味着样本空间的压缩 或者可以认为是基本事件的减少而导致的试验. 以事件B为条件的条件概率, 意味着在试验中将B提升为必然事件. 在一般情形下, 如果P(A)0, 也定义事件A出现下事件B的条件概率为 例1 一批零件共100个, 次品率为10%. 接连两次从这批零件中任取一个零件, 第一次取出的零件不再放回去. 求第二次才取得正品的概率. 解 按题意, 即第一次取出的零件是次品(设为事件A), 第二次取出的零件是正品(设为事件B). 容易知道 例2 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8, 活25岁以上的概率为0.4. 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少? 解 设A表示能活20岁以上的事件;B表示能活25岁以上的事件. 按题意, P(A)=0.8, 由于B?A, 所以AB=B, 因此P(AB)=P(B)=0.4. 按条件概率定义, 乘法定理可以推广到有限多个事件的情形. 例如, 对于A,B,C三个事件, 有 P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C|AB) =P(A)P(B|A)P(C|AB), (P(AB)0) 第二节 全概率公式 设诸事件A1,A2,...,An两两互斥且事件B为事件A1+A2+...+An的子事件, 于是 B=B(A1+A2+...+An)=BA1+BA2+...+BAn由于诸Ai(i=1,2,...,n)两两互斥, 所以诸BAi也两两互斥. 从而, 由加法定理, 得 P(B)=P(BA1+BA2+...+BAn) =P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn) P(B)=P(BA1)+ P(BA2) +...+ P(BAn)再由乘法定理, 得 P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai), (i=1,2,...,n)即得 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+... +P(An)P(B|An).这个公式称为全概率公式, 它是概率论的一个基本公式, 有着多方面的应