第二章(弹性力学).ppt

§2-1　平面应力问题和平面应变问题 弹力空间问题共有应力，应变，位移15个未知函数，且均为 ； 例如： §2－2　平衡微分方程 平面应力物理方程→平面应变物理方程： 1.试证：由主应力可以求出主应变， 且两者方向一致。 2.试证：3个主应力均为压应力，有 时可以产生拉裂现象。 3.试证：在自重作用下，圆环（平面 应力问题）比圆筒（平面应变问题）的 变形大。 例3 列出 的边界条件： 圣维南原理的应用： 1.推广解答的应用； 2.简化小边界上的边界条件。 上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。 精确的应力边界条件 积分的应力边界条件 方程个数 2 3 方程性质 函数方程（难满足） 代数方程（易满足） 精确性 精确 近似 适用边界 大，小边界 小边界 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用圣维南原理？ 2、试列出负 面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。 ⑵ 平面应力问题 按位移求解时， ， 必须满足A内的方程 (b)和边界条件(c)，(d)。 按位移求解（位移法）的优缺点： 例1 考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用， 。试用位移法求解。 §2－9 按应力求解平面问题相容方程 （a）此组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F, D=-E.此外，还应满足应力边界条件。 （b）为了满足相容方程，其系数必须满足 A + B = 0。 为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A = B =-C/2。 上两式是矛盾的，因此此组应力分量 不可能存在。 解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程 ; （3）应力边界条件（在 上）。 将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程； （2）相容方程； （3）应力边界条件（在 上）。 此式 和式（c），（d）的一组应力分 量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方 程，得 积分得 解: (a)在主要边界 应精确满足下列边界条件： 在小边界x = 0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时， 在小边界x = l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，3个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。 (b) 在主要边界x= 0, b，应精确满足下列边界条件： F O x y q h (b) b/2 b/2 在小边界y = 0，列出3个积分的边界条件，当板厚 时， 注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。 对于y = h的小边界可以不必校核。 例2 厚度 悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是 试检查此组位移是否是图示问题的解答。 h/2 h/2 A x y l F O 解： 此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件: (1) 区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式2－18）; （2）应力边界条件（书中式2－19），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用3个积 分的边界条件来代替。 （3）位移边界条件（书中式2－14）。本 题在x = l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使3个积分的应力边界条 件已经满足。 因此，只需校核下列三个刚体的约束条件： A点（ x = l及y = 0）， 读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。 例3 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容； （b）须满足B =