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换一只眼看数学 ----函数视野下的数学解题 浙江省余姚市第七中学 315450 ?周海清 函数思想是数学思想的重要组成部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用。用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想中，，前项的和为，若，当取何值时最大？ 解析：运用数列中的通项公式的特点，把数列问题转化为函数问题解决。 设 ， 则，此函数是以为自变量的二次函数。 所以二次函数的图像开口向下。 ，最大，但中 所以当为偶数时，时，最大 当为奇数时，时，最大 平面解析几何 在解决平面解析几何问题时，若是能够通过仔细读题，发 现某些点，线之间的联系，并用函数来刻画，往往会起到事半功倍的效果。 设且，抛物线被轴截得的弦长为，证明： 解析：由于弦长是与有关的变量，若能找到它们之间的关系式，问题就变简单了 且 故方程必有两个不同实根 =4=4 所以是的二次函数，且可知：，当时，是单调递减的。 所以4 即，但 所以 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离为，求这个椭圆的方程，并求出椭圆上到点的距离等于的点的坐标。 解析：设椭圆的方程：，因为，所以 所以故 设椭圆上的点到的距离为，则 若则当时， 所以，即与矛盾 若，则当时， 所以，得 所以 综上所述，椭圆方程为，且椭圆上的点 点的距离等于。 组合 证明：当时， 证明：设 则 当时， 当时， 所以当时， 解不等式问题 在解决有些不等式问题时，若运用函数的视野去分析，推 理的话，可以让证明轻松许多。 证明不等式： 解析: 一般证法是分或讨论，运算量较大。这里不妨试试构造函数。 是偶函数。当时，，从而 于是时， 故当时，恒有，即 求值 求某些代数式的值时，可以将代数式转化为函数式，以提 高解题速度。 例 6、如果实数满足，那么的最大值是__________ 解析：由已知等式两边同除以得项，同时可得到关于的二次函数，求此函数值最大值即可 两边同除以得： 即 又 所以 当，即时， 所以 设实数满足试求 的值。 解析：直接解这两个方程，显然运算量太大，不明智，通过观察发现，可把两个方程变为： 构造函数， 显然，所以为奇函数 因为，所以 又为奇函数，所以 易证，为增函数，所以 故 通过上面的例子，我们可以看到，函数思想作为重要的数学 思想之一，渗透在很多知识点里面，我们平时在教学时应注意多去发掘，培养，训练，强化这种解题思想，让它不只是局限在用来专门解函数题上面，而应该有更广泛的应用。善用它，可使我们在解决相关题目是更轻松，更高效。