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多元函数的极值及其求法(隶书)
第七章
第八节 多元函数的极值及其求法
(Absolute Maximum and Minimum Values)
一、多元函数的极值
二、条件极值 拉格朗日乘数法
三、小结与思考练习
2012年3月16 日星期五 1 目录 上页 下页 返回
一、多元函数的极值
定义 若函数 z f (x , y ) 在(x , y ) 的某邻域内有
0 0
( , ) ( , f )x y ≤f0 x0 y (或f (x, y ) ≥f (x , y ))
0 0
则称函数在该点取得极大值(极小值). 极大值和极小值
统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
z
例如:
z
z
2 2
z x 3 y +4 在点(0,0) 有极小值;
x y
2 2
z =− x +y 在点(0,0) 有极大值;
y
y
z x y 在点(0,0) 无极值. x x
2012年3月16 日星期五 2 目录 上页 下页 返回
定理1 (必要条件) 函数z f (x ,y ) 在(x 0 ,y 0 ) 存在偏导数
且在该点取得极值, 则有
′ ′
x y
( , ) 0 , ( , )fx0x 0y0 f y0 0
证: 因z f (x ,y ) 在(x 0 ,y 0 ) 取得极值, 故
x x
z f (x, y ) 在 0 取得极值
0
z f (x , y ) 在y y 0 取得极值
0
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为0 的点称为驻点.
但驻点不一定是极值
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