弹性力学 06章 空间问题解答.ppt

第六章 空间问题的解答 主要内容： 按位移求解空间问题 半空间体受重力及均布压力 半空间体在边界上受法向集中力 按应力求解空间问题 等截面直杆的扭转 扭转问题的薄膜比拟 椭圆截面杆的扭转 矩形截面杆的扭转 §6.1 按位移求解空间问题 按位移求解空间问题，是取位移分量为基本未函数。 将几何方程代入物理方程得： (6-1) 将式(6-1)代入空间问题平衡微分方程得 § 6.1 按应力求解空间问题 X Y Z (6-2) 对于轴对称问题，同样可以得到： (6-3) §6.2 半空间体受重力及均布压力 由于对称，任一铅直面均为对称面，则： 由此知基本微分方程6-2前两式自动满足，第三式成为： 问题描述： 　　设一半空间体，容重为p=ρg，在水平边界上受均布压力q，如右图所示，体力分量为X=0，Y=0，Z=ρg。 (a) 整理上式并积分得： (b) 将上式代入6-1得： (c) 由边界条件可得ρgA=q,则： 又有位移边界条件： 由此解出B代入得： § 6.2 半空间体受重力和均布压力 §6.3 半空间体受法向集中力 问题描述： 设有半空间体，体力不计，在水平面上受法向集中力P。 由于是轴对称问题，则平衡方程简化成如下形式： 应力边界条件为： 由应力边界条件转化来的平衡方程为： 解上面平衡方程和边界条件得： 由此得水平边界上任一点的沉降为： 特征：(1) R无穷大时，各应力分量均趋近为0，R趋近为0 时，各应力分量为无穷大 (2) 水平截面上的应力与弹性常数无关。 (3) 水平截面的全应力均指向作用点。 § 6.3 半空间体受集中力作用 6.4 按应力求解空间问题 按照应力求解问题，是取应力分量为基本未知函数。 对几何方程求2次导可得： 以上为一组相容方程，同样的方法可以得到另外一组相容方程： 将物理方程代入上述相容方程得： § 6.4 按应力求解空间问题 将平衡方程简化上式得： § 6.4 按应力求解空间问题 同时得到： § 6.4 按应力求解空间问题 满足上述两个相容方程，并满足平衡方程即可求解空间问题的应力解。 §6.5 等截面直杆的扭转 柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——翘曲不受限制 约束扭转——翘曲受到限制 弹性力学讨论自由扭转 柱体自由扭转计算模型 自由扭转假设 1. 刚截面假设 2.翘曲假设 位移解法基本方程 § 6.5 等截面直杆扭转 单位长度相对扭转角 调和方程 柱体扭转边界条件 侧面边界条件 翘曲函数表达端面边界条件困难 端面边界条件 T=GDj § 6.5 等截面直杆扭转 柱体扭转应力解法 扭转应力函数 y(x, y)——普朗特（Prandtl）扭转应力函数 § 6.5 等截面直杆扭转 yc=const 边界条件 侧面 端面 单连域取为0 §6.6 薄膜比拟 德国力学家普朗特（Prandtl） 基本思想： 作用均匀压力的薄膜与柱体扭转有着相似的微分方程和边界条件 通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布 薄膜比拟 薄膜边界垂度 Z=0 薄膜垂度微分方程 薄膜所围的体积 调整薄膜的高度， 使2V=T，则 Z=y 薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式 yc=0 § 6.6 薄膜比拟 薄膜曲面可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布 薄膜的等高线 § 6.6 薄膜比拟 切应力方向沿薄膜等高线切线 切应力与等高线法线方向导数成正比 切应力与等高线相切 切应力线 ts §6.7 椭圆截面杆件扭转 椭圆截面杆件 扭转应力函数 最大切应力 横截面翘曲 § 6.7 椭圆截面杆件 扭转应力 §6.8 矩形截面杆件扭转 矩形截面杆件 扭转应力函数构造困难 应力解法基本方程为泊松方程 任何泊松方程，只要找到它的一个特解，都可以化成拉普拉斯方程。 协调方程 特解 协调方程 侧面边界条件 § 6.8 矩形截面杆件 协调方程 侧面边界条件 设 § 6.8 矩形截面杆件 根据薄膜比拟，应力函数为x和y的偶函数，所以 协调方程的特解 线性迭加就是方程通解 根据边界条件 所以 § 6.8 矩形截面杆件 根据边界条件 则 两边同时乘以 并在（-b，b）区间积分，可得 应力函数 § 6.8 矩形截面杆件 j由端面面力边界条件确定 § 6.8 矩形截面杆件 取n=0一项 § 6.8 矩形截面杆件 tmax