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指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题 详解
一、指数的性质
(一)整数指数幂
1.整数指数幂概念:
2.整数指数幂的运算性质:(1) (2)
(3)
其中, .
3.的次方根的概念
一般地,如果一个数的次方等于,那么这个数叫做的次方根,
即: 若,则叫做的次方根,
例如:27的3次方根, 的3次方根,
32的5次方根, 的5次方根.
说明:①若是奇数,则的次方根记作; 若则,若则;
②若是偶数,且则的正的次方根记作,的负的次方根,记作:;(例如:8的平方根 16的4次方根)
③若是偶数,且则没意义,即负数没有偶次方根;
④ ∴;
⑤式子叫根式,叫根指数,叫被开方数。 ∴.
.
4.的次方根的性质
一般地,若是奇数,则;
若是偶数,则.
5.例题分析:
例1.求下列各式的值:
(1) (2) (3) (4)解:略。
例2.已知 , 化简:.
解:当是奇数时,原式
当是偶数时,原式
所以,.
例3.计算:
解:
例4.求值:.
解:
(二)分数指数幂
1.分数指数幂:
即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;
如果幂的运算性质(2)对分数指数幂也适用,
例如:若,则,, ∴ .
即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是;
(2)正数的负分数指数幂的意义是.
2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
即
说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;
(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。
3.例题分析:
例1. 用分数指数幂的形式表示下列各式:
, , .
解:=;
=;
=.
例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数).
(1); (2);
解(1)
=
=;
(2) ==.
例3.计算下列各式:
(1) (2).
解:(1)==
==;
(2)=.
(三)综合应用
例1.化简:.
解:===.
例2.化简:.
解: .
评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即,由此联想到平方差公式的特点,进而使问题得到解决。
例3.已知,求下列各式的值:(1);(2).
解:(1)
,
∴,
又由得,∴,
所以.
(2)(法一)
,
(法二)
而
∴,
又由得,∴,
所以.
二、指数函数
1.指数函数定义:
一般地,函数(且)叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域是.
2.指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质:
图象 性质 (1)定义域: (2)值域: (3)过点,即时 (4)在上是增函数 (4)在上是减函数
例1.求下列函数的定义域、值域:
(1) (2) (3) (4).
解:(1) ∴ 原函数的定义域是,
令 则
∴得,
所以,原函数的值域是.
(2) ∴ 原函数的定义域是,
令 则,
在是增函数 ∴,
所以,原函数的值域是.
(3)原函数的定义域是,
令 则,
在是增函数, ∴,
所以,原函数的值域是.
(4)原函数的定义域是,
由得,
∴, ∴,
所以,原函数的值域是.
说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
例2.当时,证明函数 是奇函数。
证明:由得,,
故函数定义域关于原点对称。
∴
所以,函数 是奇函数。
例3.设是实数,,
(1)试证明:对于任意在为增函数;
(2)试确定的值,使为奇函数。
分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
(1)证明:设,则
,
由于指数函数在上是增函数,且,所以即,
又由,得,,
所以,即.
因为此结论与取值无关,所以对于取任意实数,在为增函数。
评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。
(2)解:若为奇函数,则,
即
变形得:,
解得:,
所以,当时, 为奇函数。
三、对数的性质
1.对数定义:一般地,如果()的次幂等于N, 就是,那么数 b叫做a为底 N的对数,记作 ,a叫做对数的底数,N叫做真数。
即,
指数式 底数 幂 指数 对数式 对数的底数 真数 对数 说明:1.在指数式中幂N 0,∴在
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