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大学自主招生数学试题 交通大学2000年保送生数学试题 一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填 在括号 ( ) A．星期四 B．星期三 C．星期二 D．星期一 2．用13个字母A,A,A,C,E,H,I,I,M,M,N,T,T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组 成“MATHEMATICIAN”一词的概率是 A． 4813! C． 172813! ( ) D． 813! B． 21613! 18 3．方程cos2x?sin2x?sinx?m?1有实数解，则实数m的取值范围是 A．m? 18 ( ) B．m??3 C．m??1 D．?3?m? 4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2?px?q?0的两个根，则此数列各项的积 是 ( ) A．pn 5．设f?(x0)?2,则lim h?0 B．p2n f(x0?h)?f(x0?h) h C．qn C．?4 D．q2n D．4 ( ) A．?2 B．2 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 1．设f(x )2．设x?(0, ? 2 10 ?1，则?f(2x)dx?__________． 2 )，则函数(sinx? 1sinx 2 )(cosx? 2 1cosx 2 )的最小值是__________． 3．方程3?16x?2?81x?5?36x的解x?__________． ??????? ??__________． 4．向量a?i?2j在向量b?3i?4j上的投影(a)b 5 ．函数y?2x?的单调增加区间是__________． 6．两个等差数列200，203，206，?和50，54，58?都有100项，它们共同的项的个数是__________． 7．方程7x2?(k?13)x?k2?k?2?0的两根分别在区间(0,1)和(1,2) 所以b1、b2...bn等不可能全大于0， 由a1=1+b1、a2=1+b2...an=1+bn可知：a1、a2..an中至少有一个小于1。 2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x?2)??f(?x),f(0)?1,f(3)?4,试求f(x)． 第 1 页 共 57 页 32 n，a1a2?an? n?12 ． 大学自主招生数学试题 3．(8分)求极限lim 1?2???n n p?1 ppp n?? (p?0)． 解：函数f(x)?xp在[0,1]的定积分（用定义）lim 1 n?? [()?()???()](p?0)? nnnn 1 p 2 p n p ? 10 xdx? p 1p?1 ?x2?bx?c,x?01 4．(10分)设f(x)??在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f(x) 3x?0?lx?m, 中曲线部分的最短距离为3，试求b,c,l,m的值．(b,c?0) 3 5．(8分) 证明不等式：1? ?24，x?[0, ? 2 ]． 6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是 12 ．若射手甲先射，谁先 命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率． 第1轮: 甲命中: 甲获胜 1/2 甲不命中乙命中: 乙获胜 1/2*1/2=1/4 甲不命中乙不命中: 进入第2轮 第2轮: 在第一轮平的情况下，雷同第1轮 a11111111113152 P（甲获胜）=??????????()?()???(S?) 24216264222231?q 无穷等比数列求和 7.(11分)如图所示，设曲线y?角顶点在曲线y? 1x 1x 上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形?OB1A1,?A1B2A2,?,直 上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在． 第 2 页 共 57 页 大学自主招生数学试题 复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科） 一、填空题（每小题10分，共60分） 1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，??，第n组含n个数， 即1；2，3；4，5，6；??．令an为第n组数之和，则an＝________________． 2．sin2??sin2(?? n?? ? 3 )?sin(?? 2 ? 3 )＝______________． 3．lim[(n?2)log2(n?2)?2(n?1)log2(n?1)?nlog2n]＝_________________． 4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底 面成60度角，则两对角面面积之比为__________________． 5．正实数x,y满足关系式x2?xy?4?0,又若x?