1.5节 克莱姆法则.ppt

回顾 2. 1. 行： 列： 降阶法（按一行展开） Laplace定理（按多行展开） 行列式的计算： §1.5 克莱姆法则 二元线性方程组 若令 前提假设：D≠0！ 则上述二元线性方程组的解可表示为 问题: 解含有 个方程的 元线性方程组是否与解二 元线性方程组有相类似的规律？ 齐次与非齐次线性方程组的概念 元线性方程组 当常数项 不全为零时, 称为非齐次线性方程组; 当常数项 全为零时, 称为 齐次线性方程组. 方程组(1) 的系数 构成的行列式称为该方程组的系 数行列式, 即 克拉默法则(Cramer’s rule) 定理1(Cramer’s rule) 如果n元线性方程组 的系数行列式不等于零，即 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 那么线性方程组(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成 定理1包含三个结论： 方程组有解；（解的存在性） 解是唯一的；（解的唯一性） 给出解的具体计算公式. （解的表达式） 1. 该定理所讨论的只是系数行列式D不为零时的情形，至于系数行列式等于零的情形，将在后面的章节中讨论. (2)系数行列式D不等于零. 2. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件: (1)方程个数=未知量个数； 注意： 例 利用克拉姆法则求解线性方程组 解 克拉默法则的等价命题 定理2 如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零，则(1)一定有解,而且解是唯一的 . 定理2′ 如果线性方程组(1)无解或者解不唯一，则(1)的系数行列式必为零. 对于 注: 定理2与2′互为逆否命题. 特别地，对于齐次线性方程组 容易发现，齐次线性方程组(2)总是有解的，因为(0,0,…, 0)就是(2)的一个解，称之为零解. 即齐次线性方程组(2)一定有零解，但不一定有非零解. 我们关心的： 齐次线性方程组(2)除零解以外，是否存在非零解？ 针对齐次线性方程组的相关结论 定理3 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式 ，则 (2)只有零解. 定理3′ 如果齐次线性方程组(2)有非零解,则(2)的系数行列式D 必为零. 注意： 1. 定理3和3′互为逆否命题. 2. 定理3′表明系数行列式D=0是齐次线性方程组(2)有非零解的必要条件.在第三章还将证明这个条件(即D=0)也是充分的. 即： 齐次线性方程组(2)有非零解 其系数行列式D=0 例 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 注：含参变量的行列式不能做下列两种变换 (分母！) 若齐次方程组有非零解，则D=0. 课堂练习 1. 如果下列齐次线性方程有非零解, 应取何 值? 课堂练习 解 如果方程组有非零解, 内容小结 1. Cramer’s rule 若线性方程组 (1) 的系数行列式 则方程组(1)有且仅有唯 一解 此时方程组(1)对应的齐次线性方程组仅有零解. 2. 与Cramer’s rule等价的几个定理