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數學本質概念---角度 歷史四 賴佳伶 492060453 一、角的數學結構 一般的角概念 一個角有兩個邊，兩邊中夾著一塊區域，那就是角的頂點。 理想的角概念 從實際經驗及數學上的定義，角的意義可分成以下三方面來說明（Michael 1989）: （1）角是一雙定出兩個方向間的差量之射線。 （2）角是自同一端點射出的兩射線圍出的一個平面區域。 （3）角是一射線繞其端點旋轉一個程度的量。 一、角的數學結構 角度的數值化 一般有二種常用的單位，它們分別根據「度」和「弧長」來量。 （1）度：若一圓以半徑將之等量分割為360部份，則每二 相鄰的半徑所來的角為1度，記作1?。 （2）弳：一個圓心角所對弧的長，與圓的半徑成正比。如 果取圓心角所對的弧長對其半徑的比值作為圓心 角大小的度量，則此度量稱為弳，又稱為弧度。 一、角的數學結構 角的測量: 對初學者而言，量角器是一把量角的怪尺，且是完全陌生的儀器，指導時，宜利用以尺量長度的舊經驗及角的張開程度的概念與量角器的結構相結合。 初學者而言，為要使其理解幾度乃是幾個1度之累積，故教學時宜適當引出將角的一邊和量角器上的零度線重疊的測量策略。 二、認知結構 二、認知結構 張開角 由於角的多種不同意義，兒童對角的理解較困難。 8至9歲的學童對角的認識，大都僅止於物體上靜態的角之局部形象。因此為使理想化的角概念和實物上的角產生聯結，應利用「角概念的產品」。 Ex：如扇子和剪刀的開合。 二、認知結構 旋轉角 是一種動作，動作停止，其現象即消失，為具體呈現其起始位置和終止位置，通常以直線段或身線表出，若要強調其起始位置及旋轉方向，常以「 」指示，如 兒童角量概念的發展特徵 根據皮亞傑（J. Piaget）的研究發現，角的大小常被兒童認為和角臂的長度有關。8歲以前的兒童，大都以角的邊長來觀察角的大小，直到8歲以後，才能察覺角的兩邊張開的程度，但此時許多學童尚缺乏角的概念，同大的角，若擺置的方向不同，例如 a和b為同大的角，c和d皆為直角，但擺放的開口方向不同，他們會認為大小不一樣。 由直觀比較、直接比較到間接比較判定兩個或兩個以上的角之大小 直接比較與角所附著情境的不同，可分成四種不同難易層次，由低而高分別為 （1）單純角形且可任意移動的二角之疊合。 （2）一角可隨意拿動，另一角不可單獨移動。 （3）兩角皆不可單獨移動，但其附著物可隨意移動，且可 疊合。 （4）實物上的角，其中至少一個便於拿動。教學時，自較 低層次的比較情況開始，再漸進到較高層次的比較。 由建立直角概念，察覺長方形、正方形、直角三角形的特徵 （一）直角的認識 直角的形成及角的分類 兒童直角概念的認知發展特徵 直角概念的建立 （二）直角概念的應用 1.透過直角察覺直角三角形、正方形及長方形之特性 2.垂直和平行概念 垂直線：生活中的垂直線，是與水平面成直角的線，數學上的則稱交角的直線為互相垂直的線。 平行線：二直線若方向相同，則為平行線，或處處等距的兩直線為平行線。 三、教學策略 三、教學策略 形成性評量試題 四、「角度」教材內容分布 * * 圖形角 荷蘭數學教育家van Hiele夫婦對兒童幾何思考模式的研究指出： 兒童最初是透過視覺觀察具體物，由實物的輪廓來辨認圖形，須透過感官的操作，視覺的觀察進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。 把量角器的中心點對齊欲測角 度的頂點，並讓要測量角度的 一邊對齊量角器的零度邊，依 此再判斷另一邊是在哪一刻度 的線上，則為此角度之值。 不會使用量角器 教學策略 迷思概念1 請學生拿出三角板，實際去量 每一個角度到底有多少，再決 定角的大小。 對右開角熟悉，對左開角陌生 教學策略 迷思概念2 ?若祺和芬芬一起去參觀水族館，兩人為了到底是紅魚的嘴巴大，還是藍魚的嘴巴大，而爭吵不休。 若祺說：「是紅魚的嘴巴比較大。」 芬芬說：「是藍魚的嘴巴比較大。」 小朋友你覺得誰說的對呢？ □ 若祺對 □ 芬芬對　 理由是 第八冊（四下） 第三單元 四邊形 垂直、平行的認識，四邊形的分類和命名。 第七冊（四上） 第十單元 三角形 認識等腰三角形和正三角形。 第七冊（四上） 第四單元 角度 角度的認識，角的估測、實測，使用量角器及畫角。 第五冊（三上） 第十一單元 角 角的初步概念、角的大小比較及認識直角。 第五冊（三上） 第九單元 三角形和四邊形 了解三角形、四邊形的構成要素：角、