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信息安全数学基础习题答案 第一章 整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , k Z 5|n 所以5|2k ， 又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1 Z 7|n 所以7|2*5 k ,又（7，10）=1，所以7| k 即k =7 k ，k Z 1 1 1 2 2 所以n=2*5*7 k 即n=70 k , k Z 2 2 2 因此70 |n 3 2．证明：因为a -a=(a-1)a(a+1) 3 当a=3k，k Z 3|a 则3|a -a 3 当a=3k-1，k Z 3|a+1 则3|a -a 3 当a=3k+1，k Z 3|a-1 则3|a -a 3 所以a -a 能被3 整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k +1， k Z 0 0 2 2 （2 k +1）＝4 k +4 k +1=4 k (k +1)+1 0 0 0 0 0 由于k 与k +1 为两连续整数，必有一个为偶数，所以k (k +1)=2k 0 0 0 0 2 所以（2 k +1）=8k+1 得证。 0 3 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a (a+1)= a -a 3 由第二题结论3| （a -a） 即3|(a-1)a (a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a (a+1) 又（3，2）=1 所以6| (a-1)a (a+1) 得证。 5．证明：构造下列k 个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k Z 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1) ！+i 即(k+1)！+i 为合数 所以此k 个连续正整数都是合数。 1/2 6．证明：因为191 ＜14 ,小于14 的素数