1.1、向量范数与方阵范数ljg.ppt

微分方程 * 向量范数与方阵范数 向量范数 ③三角不等式： 1. 定义: 是 维复数域 上的线性空间, 有一个实数 与之对应, 满足: ①正定性: ②齐次性: 则称 是 中向量 的范数, 规定 则 是 上的一种范数, 称为 -范数. 范数: 2. 几个常见的范数 可以证明, 满足向量范数的定义. 则 是 上的范数, 称为 1-范数. 1-范数： 规定 规定 2-范数: 则 是 上的一种向量范数, 称为向量的2-范数. , 规定 -范数: 则 是 中的范数,称为 -范数. 定理 -范数 , 取 即得1 -范数, 2 -范数及 -范数. 证明 时结论显然. 以下看 情况. 设 令 由两面夹定理知 从而 记为 上的任意两个范数 等价 即 注: 例 设 解: 显然成立.　 例 设 是 阶正定矩阵, 　　列向量, 证明　　　　　 是向量范数(称为加权范数或椭圆范数). 证明 ①　 由 正定知 ② 都有 ③ 因为 正定, 所以存在矩阵 使 于是有 由知① ② ③ 是向量范数. 从而 矩阵范数 定义1 , 规定一个非负实函数, 记 ,满足以下四个条件: 1. 方阵范数的概念: ①正定条件: ②齐次条件: 则称实函数 为方阵 的范数. ③三角不等式: ④相容条件: 注: 注意方阵范数与向量范数定义的区别. 即 的各列向量的1-范数的最大值, 1-范数: 称为列范数. 2.几个常见的方阵范数 即 的各行向量的1-范数的最大值, 称为行范数. -范数: 这里 表示 特征值中模最大者(即 的谱半径) 2-范数: 称 定义 , 的所有特征值 的模最大者称为 的谱半径，记作 . 称 为 设 , 定义 的Frobeius范数. 简称为F-范数. Fribenius范数: 注: 为向量2-范数的自然推广! 上的任意两个范数 等价 即 注: * * * *