2012高中数学复习讲义(通用版全套)第一章集合与简易逻辑-Copy.docVIP

集合与简易?逻辑 引：第三次数学?危机? ??到19世纪?末，康托尔的集?合论已经得?到数学家的?承认，集合论也成?功地应用到?其他的数学?分支。集合论是数?学的基础，由于集合论?的使用，数学似乎已?经达到了无?懈可击的地?步。但是，正当数学家?们熟练地应?用集合论时?，数学帝国又?爆发了一次?危机。 ??康托尔集合?论的创造性?成果为数学?提供了广泛?的理论基础?，所以在19?00年巴黎?国际数学会?议上，法国大数学?家庞加莱宣?称：“数学的严格?性，看来直到今?天才可以说?实现了。”但事隔两年?后，却传出一个?惊人的消息?：集合论的概?念本身出现?了矛盾。这就是英国?数学家罗素?提出的著名?的悖论，罗素悖论的?内容用一句?话表述就是?：所有不以自?己为元素的?集合组成一?个集合，记为A；则有集合A?包含A等价?于集何A不?包含A这样?的悖理【5】 。罗素悖论一?提出就在当?时的数学界?和逻辑学界?引起了极大?的震动。这一悖论引?起的巨大反?响则导致了?数学史上的?第三次危机?。 小城里的理?发师放出豪?言：他要为城里?所有不为自?己刮脸的人?刮脸，而且只为那?些不为自己?刮脸的人刮?脸。 但问题是：理发师该给?自己刮脸吗?？如果他给自?己刮脸，那么按照他?的豪言“只为那些不?为自己刮脸?的人刮脸”他不应该为?自己刮脸；但如果他不?给自己刮脸?，同样按照他?的豪言“为城里所有?不为自己刮?脸的人刮脸?”他又应该为?自己刮脸。 【】1、若干个（有限个或无?限个）确定对象的?全体，可以看作一?个集合。 集合的元素?特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合｛0｝与空集?的区别：前者是含有?一个元素“0”的集合，后者是不含?元素的集合?。 例1：下列各项中?不能组成集?合的是 （A）所有正三角?形 （B）《数学》教材中所有?的习题 （C）所有数学难?题 （D）所有无理数? 2、元素与集合?的关系 一个集合A?与一个对象?a，要么a是A?中的元素，记作a?A（读作a属于?A）； 要么a不是?A中的元素?，记作a?A（读作a不属?于A）。这个性质即?为集合中元?素的确定性?。 在元素与集?合之间，只能用?或?表示，它们之间只?存在这两种?关系。 例2、若A={x | x=0}，则下列各式?正确的是 （A）φ=A （B）φA （C）{ 0 }A （D）0 A 3、集合的表示?方法 我们用列举?法与描述法?表示一个集?合。 列举法就是?把集合中的?元素一一列?举出来，并写在大括?号中。 描述法就是?通过描述集?合中所有元?素的共同特?性来表示集?合，一般写作?x|x具有某种?特性?。 +我们应熟练?记住一些常?用的数学符?号：自然数集可?以用N表示?；正整数集可?以用N表示?；整数集可 以用Z表示?；有理数集可?以用Q表示?；实数集可以?用R表示。 例3、用列举法表?示集合?(x,y)|2x?y?5?0,x?N,y?N?_____?_____?_____?_____? 例4、解不等式x??3?2，并把其正整?数解表示出?来____?_____?_____?_____?_____?__. 二、集合与集合?的关系 1、子集 对于两个集?合A和B，如果集合A?中任何一个?元素都属于?集合B，那么集合A?叫做集合B?的子集，记作A?B。任何集合都?是自己的子?集；空集是任何?集合的子集?。 2、真子集 对于两个集?合A和B，如果集合A??B，并且B中至?少有一个元?素不属于A?，那么集合A?叫做集合B?的集合讲义? 真子集，记作A?B。 含有n(n?N*)个元素的有?限集合的子?集个数为2?个，真子集个数?为2?1个，非空子集个?数为2?1个，nnn? 非空真子集?个数为2?2个。 3、相等的集合? 对于两个集?合A和B，若A?B且B?A则称集合?A与集合B?相等，记作A?B。也就是说，集合A和集?合B含有完?全相同的元?素。 由定义可知?，要证集合A?与B相等，只需证明A??B且B?A。 n 三、集合的运算? 集合的运算?从文字语言?、符号语言和?图形语言三?个角度来认?识和理解。 1、交集 (1)定义 由集合A与?集合B的所?有公共元素?组成的集合?叫做A与B?的交集，记作“A?B”。即A?B??x|x?A且x?B? (2)交集的性质? 。 A?B?B?A；A?A?A；A????； A?B?A,A?B?B；若A?B?A，则A?B；反之亦然。 例5、设集合A??x|x??2?，B??x|x?3?，则A∩B=_____?_____?_____?_____?__. 例6、设集合A??(x,y)|y?2x?1?，B??(x,y)|y?x?3?，求A∩B. 2、并集 （1）定义 由所有属于?集合A或者?属于集合B?的元素组成?的集合叫做?集合A与B?