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2012高中数学复习讲义(通用版全套)第一章集合与简易逻辑-Copy.doc
集合与简易?逻辑
引:第三次数学?危机?
??到19世纪?末,康托尔的集?合论已经得?到数学家的?承认,集合论也成?功地应用到?其他的数学?分支。集合论是数?学的基础,由于集合论?的使用,数学似乎已?经达到了无?懈可击的地?步。但是,正当数学家?们熟练地应?用集合论时?,数学帝国又?爆发了一次?危机。
??康托尔集合?论的创造性?成果为数学?提供了广泛?的理论基础?,所以在19?00年巴黎?国际数学会?议上,法国大数学?家庞加莱宣?称:“数学的严格?性,看来直到今?天才可以说?实现了。”但事隔两年?后,却传出一个?惊人的消息?:集合论的概?念本身出现?了矛盾。这就是英国?数学家罗素?提出的著名?的悖论,罗素悖论的?内容用一句?话表述就是?:所有不以自?己为元素的?集合组成一?个集合,记为A;则有集合A?包含A等价?于集何A不?包含A这样?的悖理【5】
。罗素悖论一?提出就在当?时的数学界?和逻辑学界?引起了极大?的震动。这一悖论引?起的巨大反?响则导致了?数学史上的?第三次危机?。
小城里的理?发师放出豪?言:他要为城里?所有不为自?己刮脸的人?刮脸,而且只为那?些不为自己?刮脸的人刮?脸。
但问题是:理发师该给?自己刮脸吗??如果他给自?己刮脸,那么按照他?的豪言“只为那些不?为自己刮脸?的人刮脸”他不应该为?自己刮脸;但如果他不?给自己刮脸?,同样按照他?的豪言“为城里所有?不为自己刮?脸的人刮脸?”他又应该为?自己刮脸。
【】1、若干个(有限个或无?限个)确定对象的?全体,可以看作一?个集合。
集合的元素?特征:确定性;互异性;无序性。
注意:集合{0}与空集?的区别:前者是含有?一个元素“0”的集合,后者是不含?元素的集合?。
例1:下列各项中?不能组成集?合的是
(A)所有正三角?形 (B)《数学》教材中所有?的习题
(C)所有数学难?题 (D)所有无理数?
2、元素与集合?的关系
一个集合A?与一个对象?a,要么a是A?中的元素,记作a?A(读作a属于?A);
要么a不是?A中的元素?,记作a?A(读作a不属?于A)。这个性质即?为集合中元?素的确定性?。 在元素与集?合之间,只能用?或?表示,它们之间只?存在这两种?关系。
例2、若A={x | x=0},则下列各式?正确的是
(A)φ=A (B)φA
(C){ 0 }A (D)0 A
3、集合的表示?方法
我们用列举?法与描述法?表示一个集?合。
列举法就是?把集合中的?元素一一列?举出来,并写在大括?号中。
描述法就是?通过描述集?合中所有元?素的共同特?性来表示集?合,一般写作?x|x具有某种?特性?。
+我们应熟练?记住一些常?用的数学符?号:自然数集可?以用N表示?;正整数集可?以用N表示?;整数集可
以用Z表示?;有理数集可?以用Q表示?;实数集可以?用R表示。
例3、用列举法表?示集合?(x,y)|2x?y?5?0,x?N,y?N?_____?_____?_____?_____?
例4、解不等式x??3?2,并把其正整?数解表示出?来____?_____?_____?_____?_____?__.
二、集合与集合?的关系
1、子集
对于两个集?合A和B,如果集合A?中任何一个?元素都属于?集合B,那么集合A?叫做集合B?的子集,记作A?B。任何集合都?是自己的子?集;空集是任何?集合的子集?。
2、真子集
对于两个集?合A和B,如果集合A??B,并且B中至?少有一个元?素不属于A?,那么集合A?叫做集合B?的集合讲义?
真子集,记作A?B。
含有n(n?N*)个元素的有?限集合的子?集个数为2?个,真子集个数?为2?1个,非空子集个?数为2?1个,nnn?
非空真子集?个数为2?2个。
3、相等的集合?
对于两个集?合A和B,若A?B且B?A则称集合?A与集合B?相等,记作A?B。也就是说,集合A和集?合B含有完?全相同的元?素。
由定义可知?,要证集合A?与B相等,只需证明A??B且B?A。 n
三、集合的运算?
集合的运算?从文字语言?、符号语言和?图形语言三?个角度来认?识和理解。
1、交集
(1)定义 由集合A与?集合B的所?有公共元素?组成的集合?叫做A与B?的交集,记作“A?B”。即A?B??x|x?A且x?B?
(2)交集的性质? 。
A?B?B?A;A?A?A;A????;
A?B?A,A?B?B;若A?B?A,则A?B;反之亦然。
例5、设集合A??x|x??2?,B??x|x?3?,则A∩B=_____?_____?_____?_____?__.
例6、设集合A??(x,y)|y?2x?1?,B??(x,y)|y?x?3?,求A∩B.
2、并集
(1)定义 由所有属于?集合A或者?属于集合B?的元素组成?的集合叫做?集合A与B?
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