导数运算法则M1312.docVIP

知识点：导数的运算法则(MC20202) 1 背景知识与引入方法 根据导数定义可以求一些简单函数的导数.而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则.这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为基础，法则的推导应力求简短.例如，商的求导法则就有繁简不同的表述方法. 方法一： = = =. 以上表述可简化为：令，，对于可导函数，当时，，，从而有. 方法二：先解决的导数，然后按乘积求导法则. 详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、葛严麟主编《高等数学》第Ⅱ卷）. 2 该知识点的讲解方法 （1）依据导数定义和重要极限先解决基本初等函数中常值函数c，正整次幂函数、指数函数、自然对数函数、正余弦函数、x的求导公式. （2）依据极限理论，推导出和、差、积、商的求导法则，再以这些法则和已有的导数结果，给出对数函数、正余切函数、和正余割函数、的求导公式. （3）建立反函数的求导法则，并由此给出反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导公式. （4）由导数定义及极限理论推导复合函数的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数（为任意实数）的求导公式. 微分法则表明，初等函数的导数的具体计算都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复杂函数的求导计算系统化，简单化. 3 基本初等函数的求导公式 1．（c为常数） 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 15． 16．  证明： 1．. 2． （n为自然数）. 3．，特别时，. 6． =. 7．，类似地可以证明. 4 导数的四则运算法则 定理1 设函数和都在点处可导，则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）都在点x处可导，且有： （1）； （2），特别地（为常值）； （3），特别地. 证明： （1）设 =. （2）设 = =. 由于在点x处可导，故在点x处连续，所以有，特别地当（常数）时，由上式立刻有成立. （3）设，则，再由在点x处可导（必连续）且，即得：. 再由（2） 成立. 注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限个可导函数情形，例如，设u，v，w均可导. 则有，. 5 以下证明基本初等函数的部分求导公式 5．. 9．，类似地可证. 11．，类似地可证. 6 例题 例1 设，求. 解：=，故. 例2 设，求. 解： =. 7 反函数的求导法则 定理2 设在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间内也可导，且有，即. 证明：由于y=f（x）在Ix内单调、可导（必连续），所以，反函数在相应的区间内也单调、连续，因此当时，，并且时，，于是反函数对y的导数为. 利用此定理证明如下公式： 13．. 证明：设，是的反函数，并且，在内单调增加、可导，且，所以，，类似地可证. 15．. 证明：设，其反函数在内单调、可导，且，所以在相应区间内，，类似地可证. 8 复合函数的求导法则 定理3 若函数是由复合而成，且满足 i） 在点x可导； ii） y=f(u)在u=g(x)处可导， 则复合函数在点可导，其导数为 或 证明：由ii），有，进而有，即，其中（当时），当时，规定，此时，再由i），有，且有当时，，从而推知，于是 . 证明：（其中为任意实数）. 设是由复合而成，于是，且容易算出：，，，. 例3 曲线上哪点的切线与直线平行？ 解：由于，直线的斜率，令，则，此时，故所求点为（4，8）. 例4 ，求. 解：视为复合而成，因此. 例5 求. 解：可看作由复合而成，又因， =，所以. 例6 ，求. 解：不必写出中间变量，然后逐层求导.=. 例7 ，求. 解：. 注：复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.如：设，则复合函数的导数为. 例8 ，求. 解：分解为，又因=，，，所以=. 例9 ，求. 解：. 9 参考文献 同济大学应用数学系.高等数学.北京：高等教育出版社，2002 居余马，葛严麟.《高等数学》第II卷.北京：清华大学出版社，1996 10 参考教案 MC20202