2017高考数学一轮复习 第二章 函数导数及其应用 第三节 函数奇偶性与周期性 理.pptVIP

【针对训练】 2.若函数f(x-2)为奇函数,则f(x)的图象的对称中心为　　　　.? 【答案】(-2,0)　 【解析】解法一:因为函数f(x-2)为奇函数,所以函数f(x-2)的图象的对称中心为(0,0),而f(x)的图象可由函数f(x-2)的图象向左平移2个单位得到,故f(x)的图象的对称中心为(-2,0). ? 解法二:构造函数法,由题可设f(x-2)=x,则令x-2=t?x=t+2,所以f(t)=t+2,因此f(x)=x+2,其图象的对称中心为(-2,0). 主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升 第三节　函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 2.函数的周期性 (1)周期函数:若f(x)对于定义域中任意x均有　f(x+T)=f(x)　(T为不等于0的常数),则f(x)为周期函数,T是这个函数的周期.? (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中,存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.函数的奇偶性与周期性的常用结论表 4.函数的对称性与周期性的关系 (1)若函数f(x)关于直线x=a,x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a). (2)若函数f(x)关于点(a,0),(b,0)(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=2(b-a). (3)若函数f(x)关于点(a,0)与直线x=b(ab)对称,则函数f(x)为周期函数,且周期T=4(b-a). 5.常用的数学方法与思想 函数奇偶性的判断方法,数形结合思想、分类讨论思想. 1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”). (1)函数f(x)是偶函数,若在(-∞,0)上单调递增,则在(0,+∞)上必递减.(　　) (1)√ (2)若函数f(x)=0,则x∈(-1,1],函数f(x)既是奇函数又是偶函数.(　　) (2)× (3)若函数y=f(x-1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.(　　) (3)× (4)若函数f(x)在定义域上满足f(x+2)=-f(x),则f(x)是周期为4的周期函数.(　　) (4)√ C.y=cos x D.y=ex-e-x 2.D　【解析】由函数的奇偶性知选项A中的函数是非奇非偶函数,选项B中的函数是偶函数,选项C中的函数是偶函数,选项D中的函数f(-x)=e-x-ex=-f(x),x∈R,故其是奇函数. 命题角度1:函数奇偶性的判断 典例1　判断下列函数的奇偶性,并证明. (1)f(x)=x4+x2+1; (2)f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]; (3)f(x)=|x+1|-|x-1|. 【解题思路】(1)(2)(3)的突破口是函数定义域的对称性,再找出f(x),f(-x)之间的关系. 【参考答案】(1)f(x)的定义域为R,且f(x)=f(-x), 则f(x)为偶函数. (2)由于f(x)=x2-|x|+1,x∈[-1,4]的定义域不是关于原点对称的区间,因此f(x)是非奇非偶函数. (3)函数的定义域x∈(-∞,+∞),关于原点对称. 因为f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x), 所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数. 命题角度2:函数奇偶性的应用 典例2　(2015·天一大联考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x,则f(2)+g(2)=(　　) A.4 B.-4 C.2 D.-2 【解题思路】在f(x)-g(x)=x3+2-x中用-x代替x,并利用奇、偶函数的定义求解.f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,故有f(x)=f(-x),g(x)=-g(-x),由f(x)-g(x)=x3+2-x得f(-x)-g(-x)=-x3+2x,即f(x)+g(x)=-x3+2x,因此f(2)+g(2)=-23+22=-4. 【参考答案】 B 已知函数f(x)为奇函数且定义域为R,x0时,f(x)=x+1,则f(x)的解析式为　　　　.? 【解题思路】设x0,则-x0,从而f(-x)=(-x)+1.∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=-f(-x)=-(-x+1)=x-1.当x=0 【变式训练】 1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x0时,-x0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x0时,-x0, f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=f(x). ∴对于x∈R总有f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数. 解法2:当x≥0时,f(x)=x2-2x=x2-2|x|. 当x0时,f