2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第七节 空间角与距离求解 理.ppt

【参考答案】(1)交线围成的正方形EHGF如图: 命题角度1:求二面角的大小 典例4　(2015·北京高考)如图,在四棱锥A-EFCB中,△AEF为等边三角形, 平面AEF⊥平面EFCB, EF∥BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O为EF的中点. (1)求证:AO⊥BE; (2)求二面角F-AE-B的余弦值; (3)若BE⊥平面AOC,求a的值. 【解题思路】(1)利用面面垂直的性质定理证明;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量求解二面角;(3)根据直线的方向向量与平面的法向量垂直,利用数量积的坐标运算求解. 【变式训练】 如图,在四棱锥C-ABDE中,F为CD的中点,DB⊥平面ABC,AE∥BD, AB=BC=CA=BD=2AE. (1)求证:EF⊥平面BCD; (2)求平面CED与平面ABC所成二面角(锐角)的大小. 【解题思路】建立空间直角坐标系,利用空间向量解决异面直线垂直及线面角问题. 【参考答案】由题设知,AA1,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,AB,AD, AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则相 关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0≤m≤6. 【变式训练】 (2013·上海高考)如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,AD=1,AA=1.证明直线BC平行于平面DAC,并求直线BC到平面DAC的距离. 模板攻略:用向量法求二面角 典例　(2014·新课标全国卷Ⅰ)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C. (1)证明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值. 【解题思路】连接A与菱形对角线的交点O,利用菱形的对角线互相垂直以及AB⊥B1C证明B1C垂直于平面ABO,得到AO⊥CB1即可证明线段相等;利用空间向量法求二面角的余弦值. 【参考答案】(1)连接BC1,交B1C于点O,连接AO. 因为侧面BB1C1C为菱形, 所以B1C⊥BC1,且O为B1C及BC1的中点. 又AB⊥B1C, 所以B1C⊥平面ABO. 由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO. 又B1O=CO,故AC=AB1. 主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升 第七节　空间角与距离的求解 1.直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 把直线l上的向量a以及与a共线的向量叫做直线l的方向向量. (2)平面的法向量 直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a垂直于平面α,记为a⊥α,称向量a叫做平面α的法向量. 2.空间线线、线面、面面平行与垂直的向量语言表示 设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为a,b,两个平面α1,α2的法向量分别为u,v,则有下表: 典例1　(1)(2015·江西师大附中期中考试)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧棱SA⊥底面ABCD,AD∥BC,∠ABC=90°,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.求证:AM∥面SCD. 【解题思路】建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,证明直线的方向向量和平面的法向量垂直. (2)(2015·银川一中四模)在如图所示的多面体中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC, BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中点. 求证:BD⊥EG. 【解题思路】先找到三条两两垂直的直线,建立空间直线坐标系,利用两直线方向向量的数量积为0证明直线垂直. 典例2　(2015·新课标全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为菱形,∠ABC=120°,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE⊥平面ABCD,DF⊥平面ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面AEC⊥平面AFC; (2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 【解题思路】(1)连接BD,与菱形对角线AC相交于点G,通过证明GE与平面ACF内的两条相交直线垂直即可证明;(2)根据(1),利用向量法求解即可. 主干知识回顾 名师考点精讲 综合能力提升