将军饮马问题讲义.docVIP

将军饮马问题 唐朝诗人李 HYPERLINK /doc/918764-971133.html \t _blank 颀的诗《 HYPERLINK /doc/3624662-3810460.html \t _blank 古从军行》开头两句 说:白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河. 诗中隐含着一个有趣的数学问题. 如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下 的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总的路程最短? 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题. 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个被称为将军饮马的问题广泛流传. 将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军问题，然后利用轴对称解题。 一．六大模型 1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B， 在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B， 在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。 3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。 使△PAB 的周长最小. 4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。 使四边形 PAQB 的周长最小。 5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 ON 上作点 P， 使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 ON 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 OM 的距离之和最小 常见问题 首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就是题目中的所求点， 即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，作图所得的点，需要连 线的点。 1. 怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。 2. 对称完以后和谁连接？ 一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模型二和模型三。 3. 所求点怎么确定？ 首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。 下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题： 1.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3； （2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可． 【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4）， 把C（0，3）代入得a?（﹣1）?（﹣4）=3，解得a=， 所以抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3； （2）存在． 因为A（1，0）、B（4，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x=， 连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短， 所以此时四边形PAOC的周长最小， 因为BC==5， 所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题． 2．（2015?上城区一模）设抛物线y=（x+1）（x﹣2）与x轴交于A、C两点（点A在点C的左边），与y轴交于点B． （1