函数解析式求法例题及练习.doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 函 数 解 析 式 的 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设是一次函数，且，求 解：设 ，则 二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 例2 已知 ，求 的解析式 解：， 三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知，求 解：令，则， 函数性质法： 1. 已知函数奇偶性及部分解析式，求解析式本类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。 “一变”是取相反数使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的奇偶性将上述表达式转化为的表达式。 例4.1 已知定义在上的偶函数，当时，，求解析式。 解：当时，， 依题有， 又因为是定义在上的偶函数 故， 所以当时， 所以 2. 已知函数周期性及部分解析式求解析式此类问题的解题思路是“一变”、“二写”、“三转化”。 “一变”是通过自变量减周期使自变量属于所给区间；“二写”是写出新变量的表达式；“三转化”就是利用函数的周期性将上述表达式转化为的表达式。 例4.2 已知是定义域为周期为2的函数，对，用表示区间，当时，试求当时解析式。 解：当时，则， 故， 又∵的周期为2， ∴， ∴ 五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5.1 设求 解 = 1 \* GB3 ① 显然将换成，得： = 2 \* GB3 ② 解 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②联立的方程组，得： 例5.2 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式 解 为偶函数，为奇函数， 又 = 1 \* GB3 ① ， 用替换得： 即 = 2 \* GB3 ② 解 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②联立的方程组，得 ， 六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例6 已知：，对于任意实数、，等式恒成立，求 解对于任意实数、，等式恒成立， 不妨令，则有 再令 得函数解析式为： 七、设元代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用设元代入法。 例7 已知：函数的图象关于点对称，求的解析式 解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则，解得： ， 点在上 把代入得： 整理得 八、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求 解 ， 不妨令，得：， 又 = 1 \* GB3 ① 分别令 = 1 \* GB3 ①式中的 得： 将上述各式相加得：， 函数解析式求法练习 待定系数法 1．已知 SKIPIF 1 0 是一次函数，且满足 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 . 2．求一个一次函数，使得. 3．设函数其中是的正比例函数，是的反比例函数，又,求的解析式。 4．设是一元二次函数, ,且, 求与. 5．设二次函数满足,且图象在轴上截距为1,在轴上截得的线段长为,求的表达式. 配凑法 1．已知 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 ； 2．已知，求解析式. 换元法 1．已知, 求的解析式. 2．若，求． 3．若,求. 4．已知，求的解析式. 5．设,?,求及. 函数性质法 1．已知函数是上的奇函数，当时，，求的解析式。 2．已知函数 SKIPIF 1 0 是定义在上的奇函数，且当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，求当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 的函数解析式。 设元代入法 1．已知函数的图像与函数的图像关于原点对称，求的解析式。 构造方程组法 1．已知求． 2．定义在区间 SKIPIF 1 0 上的函数 SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1