高教五版高数(经济类)偏导数全微分随堂讲义.pptVIP

* * 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 同样可证 证: 由全增量公式 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 因此有 定理1(必要条件) * * 反例: 函数 易知 但 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注意: 定理1 的逆定理不成立 . 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: * * 证： 若函数 的偏导数 则函数在该点可微分. 定理2 (充分条件) * * 所以函数 在点 可微. 注意到 , 故有 * * 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 习惯上把自变量的增量用微分表示, 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分. 的全微分为 于是 推广: * * 解 因为 所以 解 因为 所以 * * * * 所以 * * 内容小结 1. 微分定义: 2. 重要关系: 函数可导 函数可微 偏导数连续 函数连续 * * 课后练习 习题6－2 思考与练习 1. 已知 答案: 2. 设 （详细解答见下页） * * 解: 利用轮换对称性 , 可得 注意: x , y , z 具有 轮换对称性 2. 设 * * 函数 在 可微的充分条件是( ) 的某邻域内存在 ; 时是无穷小量 ; 时是无穷小量 . 3. 选择题 * * 在点 (0,0) 可微 . 在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 续, 证: 1) 因 故函数在点 (0, 0) 连续 . 但偏导数在点 (0,0) 不连 4. 证明函数 所以 * * 同理 极限不存在 , 在点(0,0)不连续 ; 同理 , 在点(0,0)也不连续. 2) 3) * * 4) 下面证明 可微 : 说明: 此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件. 令 则 * * 运行时, 点击按钮“证明”, 或“(证明略)”, 将显示定理的证明过程, 证明结束自动返回. * ( P245 例2 ) * * 第二节 偏导数 全微分 第六章 一、偏导数 二、高阶偏导数 三、全微分 * * 一、偏导数 在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念， 对于多元函数也常常需要研究它的变化率. 由于多元函数的自变量不止一个， 变化率也就会出现 也就会出现各种不同的情况； 就二元函数z = f (x, y)而言， 当点(x, y)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时一般有不同的变化率. 我们先讨论当沿着平行于x 轴或y轴方向变动 （即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化率. * * 在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 定义1 * * 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 同样可定义对 y 的偏导数 * * 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为 (请自己写出) 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . * * 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 二元函数偏导数的几何意义: * * 函数在某点各偏导数都存在, 显然 例如, 但在该点不一定连续. 在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续! 注意： * * 解 * * 偏导数记号是一个 求证: 证: 说明: (R 为常数) , 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号, 例3 已知理想气体的状态方程 * * 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: * * 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 类似可以定义更高阶的偏导数. * * 解 * * 解 : 注意:此处 但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 例6 求函数 * * 说明: 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 * * 内容小结 1. 偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续