浙教版八年级上2.3等腰三角形的性质定理(二)同步集训有答案.doc

2．3　等腰三角形的性质定理(二) 1．(1)在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝80°，则∠DAC＝40°；若BC＝6 cm，则CD＝3cm (2)在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝2.5 cm，则BC＝5cm，∠ADB＝90°； (3)在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠BAD＝50°，则∠BAC＝100°，∠ADC＝90°． 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD＝__3__． (第2题) 　　　 (第3题) 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，延长BA至点D.若∠CAE＝36°，则∠B＝54°，∠CAD＝108°． 4. 在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，有下列结论：①AD⊥BC，②BD＝DC，③∠B＝∠C，④∠BAD＝∠CAD.其中正确的是①②③④(填序号)． 5．等腰三角形的“三线合一”指的是(D) A．中线、高线、角平分线互相重合 B．腰上的中线、腰上的高线、底角的平分线互相重合 C．顶角的平分线、中线、高线互相重合 D．顶角的平分线，底边上的高线、底边上的中线互相重合 (第6题) 6．如图是人字形屋架的设计图，由AB，AC，BC，AD四根钢条焊接而成，其中A，B，C，D均为焊接点，且AB＝AC，D为BC的中点．现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是(C) A．AC和BC，焊接点C B．AB和AC，焊接点A C．AD和BC，焊接点D D．AB和AD，焊接点A (第7题) 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点(不与A重合)，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明理由． 【解】　猜想：AE垂直平分BC，即AE⊥BC，BD＝CD.理由如下： ∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO， ∴△ABO≌△ACO(SSS)， ∴∠BAO＝∠CAO. ∴AE⊥BC，BD＝CD(等腰三角形三线合一)． (第8题) 8．如图，在△ABC中，PM，QN分别是AB，AC的垂直平分线，∠BAC＝110°，求∠PAQ的度数． 【解】　∵PM垂直平分AB， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠B. 同理，∠QAC＝∠C. ∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠B＋∠C＝180°－110°＝70°， ∴∠PAB＋∠QAC＝70°. ∵∠PAQ＝110°－(∠PAB＋∠QAC)， ∴∠PAQ＝110°－70°＝40°. (第9题) 9．如图，已知等腰△ABC的周长为16 cm，AD是顶角∠BAC的平分线，AB∶AD＝5∶4，且△ABD的周长为12 cm.求△ABC 【解】　设AB＝5x，则AD＝4x，AC＝5x，BC＝16－10x. ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝DC＝eq \f(1,2)BC＝8－5x， ∴5x＋4x＋(8－5x)＝12，解得x＝1. ∴AB＝5x＝5，AC＝5x＝5，BC＝16－10x＝6. (第10题) 10．如图所示是一人字架设计图，已知AB＝AC，∠B＝22°.为使中柱AH垂直于横梁BC，工人师傅取了BC的中点H，按图计算出AH的长．装上后，那么AH⊥BC，你觉得这样的设计是否达到要求？理由是什么？如果要计算出∠BAH和∠CAH的度数，你会算吗？ 【解】　这样的设计符合要求．理由如下： ∵AB＝AC，H是BC的中点， ∴AH⊥BC(等腰三角形三线合一)． 故这样的设计符合要求． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝22°， ∴∠BAC＝180°－22°－22°＝136°. ∵AB＝AC，H是BC的中点， ∴∠BAH＝∠CAH＝eq \f(1,2)∠BAC＝68°. (第11题) 11．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE，请判断EF与BC的位置关系，并说明理由． 【解】　EF⊥BC.理由如下： 过点A作AD⊥BC于点D，延长EF交BC于点G. ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴2∠CAD＝∠BAC(等腰三角形三线合一)． 又∵∠BAC是△AEF的外角， ∴∠BAC＝∠E＋∠AFE. ∵∠E＝∠AFE， ∴∠BAC＝2∠E. ∴∠CAD＝∠E， ∴AD∥EF， ∴∠EGC＝∠ADC＝90°， ∴EF⊥BC. (第12题) 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC的补角∠EAC，AF是BC边上的中线．求证：AD⊥AF. 【解】　∵AB＝AC，AF是BC边上的中线， ∴∠FAC＝eq \f(1,2)∠BAC. ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAD＝eq \f(1,2)∠CAE. 又∵∠BAC＋∠CAE＝180°， ∴∠FAC