专题43 圆的方程（教学案）-2019年高考数学（理）一轮复习精品资料 Word版含解析.doc

1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．　 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) 半径r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F) 2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)d＞r?M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圆外； (2)d＝r?M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圆上； (3)d＜r?M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圆内． 高频考点一　求圆的方程 例1、(1)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，eq \r(5))在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为eq \f(4\r(5),5)，则圆C的方程为________. (2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________. (2)抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，准线为x＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为 (x－1)2＋y2＝4. 答案　(1)(x－2)2＋y2＝9　(2)(x－1)2＋y2＝4 【举一反三】(1)一个圆经过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________． 答案　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq \f(25,4) 解析　由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)， 令y＝0，解得x＝eq \f(3,2)，圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半径为eq \f(5,2). (2)根据下列条件，求圆的方程． ①经过P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6； ②圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)． ②方法一　如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得eq \f(4x0－2,3－x0)＝1， ∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2eq \r(2)， 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 方法二　设所求方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2， 根据已知条件得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y0＝－4x0，,?3－x0?2＋?－2－y0?2＝r2，,\f(|x0＋y0－1|,\r(2))＝r，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－4，,r＝2\r(2).)) 因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值． 【变式探究】(1)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为____________． (2)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为________________． 答案　(1)x2＋(y－1)2＝1　(2)(x－3)2＋y2＝2 高频考点二　与圆有关的最值问题 例2、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值. 解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆. (1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx. 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如图1). 所以eq \f(y