导数解答题之极点偏移问题教师版.doc

函数与导数解答题之极值点偏移问题 1.（2013湖南文21)已知函数 (Ⅰ)求的单调区间; (Ⅱ)证明:当时,. 2.(2010天津理21）已知函数. (Ⅰ) 求函数的单调区间和极值； (Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时， (Ⅲ)如果且证明 【解析】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x1时，2x-20,从而’(x)0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，,则=，所以,从而.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以,即2. 3.已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若函数的两个零点为，证明：． 试题分析：（1）首先求出函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；（2）首先由函数的两个零点为并结合（1）可得0＜x1＜a＜x2，然后构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，并利用其导函数求出其函数的单调性，进而得出所证的结果. 试题解析：（Ⅰ）f?(x)＝ eq \f( 1 ,x)－ eq \f(a, x2)＝ eq \f(x－a, x2)，（x＞0），所以当a≤0时，f?(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． （Ⅱ）若函数y＝f(x)的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）则g?(x)＝f?(x)＋f?(2a－x)＝(x－a)[ eq \f(1,x2)－ eq \f(1,(2a－x)2)]＜0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)＞g(a)＝0，即f(x)＞f(2a－x)．令x＝x1＜a，则f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以x2＞2a－x1，故x1＋x2＞2a． 4.（2016福州五校下学期第一次联考）已知函数），其图象与轴交于不同的两点，，且． 求实数的取值范围； （2）证明： 5．已知函数）在其定义域内有两个不同的极值点． （Ⅰ）求的取值范围； （Ⅱ）设两个极值点分别为，证明:． 解：(Ⅰ)依题，函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ， 所以方程 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有两个不同根. 即，方程 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 有两个不同根……………1分 令 SKIPIF 1 0 ，从而转化为函数 SKIPIF 1 0 有两个不同零点， 而 SKIPIF 1 0 （ SKIPIF 1 0 ） ………………2分 若 SKIPIF 1 0 ，可见 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上恒成立，所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 单调增， 此时 SKIPIF 1 0 不可能有两个不同零点. ………………3分 若 SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ， 所以 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上单调增，在 SKIPIF 1 0 上单调减， 从而 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ………………4分 又因为在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，在在 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，于是只须： SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIP