2014人教A版高中数学必修四 第二章 2.4 2.4.1 no.2 平面向量数量积的物理背景及其含义课下检测.docVIP

PAGE 【创新方案】2013版高中数学 第二章 2.4 2.4.1 NO.2 平面向量数量积的物理背景及其含义课下检测 新人教A版必修4 一、选择题 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝eq \r(7)，则a与b的夹角θ为(　　) A.eq \f(π,6)　　　　　　　　　　 B.eq \f(2π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(5π,6) 解析：∵|2a＋b|2＝4＋9＋4a ∴a·b＝－eq \f(3,2)，cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2). 又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3). 答案：B 2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k A．－6 B．6 C．3 D．－3 解析：∵c·d＝0， ∴(2a＋3b)·(ka－4b ∴2ka2－8a·b＋3ka·b－12b2 ∴2k＝12，∴k＝6. 答案：B 3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·(＋)等于(　　) A.eq \f(4,9) B.eq \f(4,3) C．－eq \f(4,3) D．－eq \f(4,9) 解析：∵AM＝1，且＝2， ∴||＝eq \f(2,3). 如图，·(＋)＝·2＝·＝＝(eq \f(2,3))2＝eq \f(4,9). 答案：A 4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为(　　) A．1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(\r(3),2) 解析：∵|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向， ∴a与c的夹角为60°. 又|a－c|＝eq \r(a2－2a·c＋c2)＝eq \r(1－|c|＋|c|2) ＝ eq \r(?|c|－\f(1,2)?2＋\f(3,4)) 故|a－c|min＝eq \f(\r(3),2). 答案：D 二、填空题 5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析：＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－， 于是|＋|＝|－|， 所以|＋|2＝|－|2， 即·＝0，从而AB⊥AC. 答案：直角三角形 6．已知|a|＝6，a与b的夹角为eq \f(π,3)，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________. 解析：由已知，a2－a·b－6b2＝－72， ∴|a|2－|a||b|coseq \f(π,3)－6|b|2＝－72， 即2|b|2＋|b|－36＝0.∴(2|b|＋9)(|b|－4)＝0. ∵|b|≥0，∴|b|＝4. 答案：4 7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足＝2，则·＝________. 解析：∵＝＋ ＝＋eq \f(2,3) ＝＋eq \f(2,3)(－) ＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)， 又C＝90°，·＝0， ∴·＝(eq \f(2,3)＋eq \f(1,3))· ＝eq \f(1,3)＝3. 答案：3 8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则eq \f(|a|,|b|)＝________. 解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b， ∴|a＋2b|＝eq \r(a2＋4b2)，|a－2b|＝eq \r(a2＋4b2). ∴cos 120°＝eq \f(?a＋2b?·?a－2b?,|a＋2b||a－2b|)＝eq \f(a2－4b2,?\r(a2＋4b2)?2) ＝eq \f(a2－4b2,a2＋4b2)＝－eq \f(1,2). ∴eq \f(a2,b2)＝eq \f(4,3).∴eq \f(|a|,|b|)＝eq \f(2\r(3),3). 答案：eq \f(2\r(3),3) 三、解答题 9．已知|a|＝1，a·b＝eq \f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq \f(1,2). (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解：(1)∵(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝eq \f(1,2)，|a|＝1， ∴b2＝a2－eq \f(1,2)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)， ∴|b|＝eq \f(\r(2),2). ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq \f(\r(2),2). 又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,4)， 故a与b的夹角为eq \f(π,4). (2)|a＋b|＝eq \r(?