2014人教A版高中数学必修四 第二章 2.4 2.4.2 no.2 《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课下检测.docVIP

PAGE 【创新方案】2013版高中数学 第二章 2.4 2.4.2 NO.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课下检测 新人教A版必修4 一、选择题 1．(2012·辽宁高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)．若a·b＝1，则x＝(　　) A．－1　　　　　　　　　 B．－eq \f(1,2) C.eq \f(1,2) D．1 解析：由a＝(1，－1)，b＝(2，x)可得a·b＝2－x＝1，故x＝1. 答案：D 2．已知点A(－1,0)、B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若⊥a，则实数k的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：＝(2,3)，a＝(2k－1,2)，由⊥a得2×(2k－1)＋6＝0，解得k＝－1. 答案：B 3．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 解析：设P(x,0)，则＝(x－2，－2)， ＝(x－4，－1)， ∴·＝(x－2)(x－4)＋2 ＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 故当x＝3时，·最小，此时P(3,0)． 答案：C 4．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则·等于(　　) A．6 B．8 C．－8 D．－6 解析：如图，＝＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)， ＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)， 则·＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8. 答案：B 二、填空题 5．已知向量a＝(3,4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb与－b垂直，则实数x的值为________． 解析：∵向量a＋xb与－b垂直， ∴(a＋xb)·(－b)＝－a·b－xb2＝－2－5x＝0， ∴x＝－eq \f(2,5). 答案：－eq \f(2,5) 6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝eq \r(2)，则|·n|的最大值为________． 解析：＝(2,2)，||＝2eq \r(2)，|·n|≤|||n|＝4，当且仅当与n共线且同向时取等号． 答案：4 7．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为________． 解析：＝－＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而·＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以⊥， 又||≠||，所以△ABC是直角非等腰三角形． 答案：直角三角形 8．若将向量a＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转eq \f(π,4)得到向量b，则向量b的坐标为________． 解析：设b＝(x，y)，由已知条件得 |a|＝|b|，a·b＝|a||b|cos 45°. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,2x＋y＝\r(5)×\r(5)×\f(\r(2),2)，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)，,y＝\f(3\r(2),2)，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(2),2)，,y＝－\f(\r(2),2).)) ∵向量a按逆时针旋转eq \f(π,4)后，向量对应的点在第一象限，∴x0，y0，∴b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3\r(2),2))) 三、解答题 9．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD. (1)求证：AB⊥AC； (2)求向量； (3)求证：AD2＝BD·CD. 解：(1)∵＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)， ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)， ·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0， ∴AB⊥AC. (2) ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)． 设＝λ＝(5λ，5λ) 则＝＋ ＝(－3，－6)＋(5λ，5λ) ＝(5λ－3,5λ－6)， 由AD⊥BC得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝eq \f(9,10)， ∴＝(eq \f(3,2)，－eq \f(3,2))． (3)证明：＝eq \f(9,4)＋eq \f(9,4)＝eq \f(9,2)， ||＝eq \r(50λ2)＝eq \f(9\r(2),2)， ||＝5eq \r(2)，||＝||－||＝eq \f(\r(2),2). ∴||2＝||·||，即AD2＝BD·C