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同余式及不定方程相关实例题解析
同余式及不定方程的解法
2(不定方程 不定方程是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富。我国对不定方程的研究已延续了数千年,百鸡问题等一直流传至今,物不知其数的解法被称为中国剩余定理,近年来不定方程的研究又有新的进展。学习不定方程,不仅可以拓宽数学知识面,而且可以培养思维能力,提高数学解题的技能。 不定方程的问题主要有两大类:判断不定方程有无整数解或解的个数;如果不定方程有整数解,采取正确的方法,求出全部整数解.
(1) 不定方程解的判定
如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种,因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.
22例4 证明方程2x-5y=7无整数解.
22证明 ?2x=5y+7,显然y为奇数.
? 若x为偶数,则
?
?方程两边对同一整数8的余数不等,
?x不能为偶数.
? 若x为奇数,则
2但5y+7
?x不能为奇数.因则原方程无整数解.
说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.
(2) 不定方程的解法
不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式(质因数)分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.
例6 求方程的整数解.
222解(配方法)原方程配方得(x-2y)+y=13.
2在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于13即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解
解得
222例7 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a+b=c.证明:这时有a,b及b+1=c.
222证明(因式分解法)?a+b=c,
2?a=(c-b)(c+b),
2又?a为素数,?c-b=1,且c+b=a.
2于是得c=b+1及a=b+c=2b+1,3b,
即,.而a?3,??1,?,1.?a,b.
例10求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解. 解 由(y-2)x=2y-7,得
分离整数部分得 由x为整数知y-2是3的因数,
?y-2=?1,?3,?x=3,5,?1.
?方程整数解为
22例11 求方程x+y=x-xy+y的整数解.
22解(不等式法)方程有整数解 必须?=(y+1)-4(y-y)?0,解得
?y?.
满足这个不等式的整数只有y=0,1,2. 当y=0时,由原方程可得x=0或x=1;当y=1时,由原方程可得x=2或0;当y=2时,由原方程可得x=1或
2.
所以方程有整数解
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