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中考数学几何旋转综合题
1. 已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)
FBA
F
B
A
C
E
第23题图③
F
B
A
D
C
E
G
第23题图②
F
B
A
D
C
E
G
第23题图①
2.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角?(0°<?<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC,BC于D,F
(1)如图观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图,当?=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长.
3.如图23-5(a),在Rt△ABC中,∠BAC=90°,,D,E两点分别在AC,BC上,且DE∥AB,,将△CDE绕点C顺时针旋转,得到△CD′E′(如图23-5(b),点D′,E′分别与点D,E对应),点E′在AB上,D′E′与AC交于点M.
图23-5
(1)求∠ACE′的度数;
(2)求证:四边形ABCD′是梯形;
(3)求△AD′M的面积.
4.如图,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.
(1)当把△ADE绕A点旋转到图23-8(b)的位置时,D,E,B三点共线,CD=BE是否仍然成立?若成立请证明;若不成立请说明理由;
(2)当△ADE绕A点旋转到图23-8(c)的位置时,D,E,B三点不共线,△AMN是否还是等边三角形?若是,请给出证明;并求出当AB=2AD时,△ADE与△ABC及△AMN的面积之比;若不是,请说明理由.D
D
5.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(-8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转??得到四边形OA′B′C′,此时直线OA′,直线B′C′分别与直线BC相交于点P,Q.
(1)四边形OABC的形状是______,
当?=90°时,的值是______;
(2)①如图23-9(b),当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴的正半轴上时,求的值;
②如图23-9(c),当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时,求△OPB′的面积;
(3)在四边形OABC的旋转过程中,当0°<?≤180°时,是否存在这样的点P和点Q,使BP=?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
1 解:(1)证明:在Rt△FCD中,
FBADCEGMNN图 ②(一)
F
B
A
D
C
E
G
M
N
N
图 ②(一)
同理,在Rt△DEF中, EG=FD. ………………2分
∴ CG=EG.…………………3分
(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG.…………………………4分
证法一:连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点.
在△DAG与△DCG中,
∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG,∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.………………………5分
在△DMG与△FNG中,
∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG,∴ △DMG≌△FNG.∴ MG=NG
在矩形AENM中,AM=EN. ……………6分
FBADCEGM图 ②(二)在Rt△AMG 与Rt△ENG中,∵ AM=EN, MG=NG,∴ △
F
B
A
D
C
E
G
M
图 ②(二)
∴ EG=CG. ……………………………8分
证法二:延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC, ……………………4分
在△DCG 与△FMG中,∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG ≌△FMG.∴MF=CD,∠FMG=∠DCG.
∴MF∥CD∥AB.………………………5分
∴在Rt△MFE 与Rt△CBE中,∵ MF=CB,EF=BE,∴△MFE ≌△CBE.
∴.…………………………………………………6分
∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7分
FBADCE图③G∴ △MEC为直角三角形.∵ MG = CG,
F
B
A
D
C
E
图③
G
∴ .…………
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