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二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 例如, 在xoy 面上的投影曲线方程为 又如, * 第七章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. 称它为空间曲线的 参数方程. 空间曲线——圆柱螺线 P 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。 圆柱面 y z 0 x a x = y = z = acos t bt M(x,y,z) asin t t M 螺线从点P ? Q 当 t 从 0 ? 2?, 叫螺距 N . Q (移动及转动都是等速进 行,所以z与t成正比。) 点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转; 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 1 . 解 y x z o 得交线L: 由 z =0 1 y x z o 解 L . . . 得交线L: . 投影柱面 由 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xoy 面上的投影曲线 二者交线 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . L: x z y 0 ( ) 消去z y2 = – 4x y2 = – 4x 例 空间曲线作为投影柱面的交线 L: x z y 0 ( ) 消去z (消去x ) . y2+(z – 2)2 = 4 y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x y2 = – 4x 例 空间曲线作为投影柱面的交线 L: L: x z y 0 L 转动坐标系,有下页图 ( ) 转动坐标系,有下页图 . 消去z (消去x ) . y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x 例 空间曲线作为投影柱面的交线 L: L x z y 0 y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x (消去z) y 2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) y2 = – 4x 例 空间曲线作为投影柱面的交线 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 作图练习 x 0 z y 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 6 6 6 x+y+z=6 3x+y=6 2 . x 0 z y 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 作图练习 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 作图练习 3x+y=6 3x+2y=12 x+y+z=6 . 6 6 6 x 0 z y 4 2 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 作图练习 4 2 x+y+z=6 . x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 作图练习 4 2 . x 0 z y 6 6 6 平面y=0 , z=0,3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6所围成的立体图 作图练习 a a x z y 0 作图练习 * * * *
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