高数1.2 极限的定义与性质.pptVIP

§1.2 1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限 例1.2.3 求 例1.2.5 求 1.2.2. 单侧极限 例1.2.6. 设函数 一般地， * * 第一章 1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限 自变量变化过程的六种形式: 1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 1.2.2、单侧极限 1.2.4、无穷极限 1.2.5 极限的性质 例1.2.1 考察函数 在当x趋向于1时函数值 的变化。 解 如图，该函数定义域为 ○ 考察x从x=1的左侧及右侧接近1时， 其函数值的变化情况 。 列表如下 ○ 结论：当x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常数2. 2.000001 1.000001 1.999999 0.999999 2.001 1.001 1.999 0.999 2.01 1.01 1.99 0.99 2.1 1.1 1.9 0.9 一般地，我们有 定义1.2.1 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 或 反之， 若不存在这样的常数 A， 则称当 时 没有极限或极限不存在。 则例1.2.1可表示为 的值任意地接近常数A, 函数 如果当x充分接近 时， 则称 当 的极限为A, 记作 时函数 例1.2.2 设函数 求 解 如图， ○ . 观察其函数图象，得 结论：函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否 有定义或等于什么并无关系. 解 如图， 观察其函数图象，得 解 如图， 观察其函数图象，得 例1.2.4 求 不存在 . 解 如图， 观察其函数图象，得 定义1.2.2 设函数 在点 右（或左）邻域内有定义 , （或 函数 如果当x从 的右侧（左侧）充分接近 时， 的值任意地接近常数A, 则称 在 处的右（或左） 函数 记作 极限为A, 有时记为 （或 讨论 时 的左右极限是否存在 . 解: 如图 例1.2.7 设函数 求 解 如图， ○ 和 由这两个例子，得一般地 定理1.2.1 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限 例1.1.8 定义1.2.3 设函数 对大于（或小于）某个数X的x都 （或 记作 的极限为A, 函数 有定义， 如果当x无限地趋向 时， （或 的值任意地接近常数A, 则称当 （或 时函数 又设函数 对绝对值大于某个正数X的x都有定义， 记作 的极限为A, 函数 如果当|x|无限地趋向 时， 的值任意地接近常数A, 则称当 时函数 于是在例1.1.8中 定理1.2.2 . 例1.1.9 设 求 解 如图 所以 不存在。 有一类特别地、重要的极限 定义1 .2.4. 若 时 , 函数 则称函数 为 时的无穷小 . 例1.1.10 因为 故当 时函数 为无穷小 . 例1.1.11 因为 故当 时函数 为无穷小 . 例1.1.12 如图 故当 时函数 为无穷小 . 当 时函数 接近于0 ， 所以 但当 时函数 不是无穷小 . 注1: 无穷小与很小的数。 注2: 无穷小是与x的变化过程有关。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.4、无穷极限 例1.1.13 y值不断增大， 且有一种趋势， 趋向正无穷大。 此时极限并不存在， 记为 y值不断减小， 且有一种趋势， 趋向负无穷大。 此时极限并不存在， 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.2.5 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 , 或 记作 则称 当 趋向于正无穷大（或负无穷大） 时函数 变得任意大， 函数 如果当x充分接近 时， 如果上述定义中将 (或 叙述成 则称 当x趋近 时函数 趋向于无穷大， 记作 注1: 上述中的极限称为无穷极限. 注2: 无穷大是与x的变化过程有关。 无穷极限并不代表 极限存在。 注3: 和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一亿)混淆. 注4: 无穷大一定无界, 反之不然 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.14 求 解 如图 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.14 求 解 如图 所以 不存在。 定理1.2.4(局部有界性） 若 则存在 1.2.5 极限的性质 最后无穷大与无穷小有如下的关系 定理1.2.3 在自变量的同一极限变化过程中, 如果函数 为无穷大， 则 为无穷小； 反之如果 为无穷小， 则 为无穷大。 的一个 邻域， 使得函数 在该邻域里有界。 定理1.2.5(唯一性） 若 存在， 则极限唯一。 在自变量的其他极限变化