高中数学 高考数学离心率题型总结.docx

.. 高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率 二．典例剖析： 例.若椭圆短轴端点为满足，求椭圆离心率。 分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即，得到 的结论。 变 式1.在椭圆上有一点（除短轴端点外），若，求椭圆离心率取值范围。 分析：点P在椭圆上 ；点P在以O为圆心，OP为半径的圆上,所以得到cb，进而得到的结论。 变 式2. 满足的所有点P都在椭圆内，求椭圆离心率取值范围。 分析：满足的所有点P都在椭圆内以O为圆心，OP为半径的圆都在椭圆内，进而得到的结论。 变 式3.过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点且满足，若，求该椭圆离心率。 分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段拉长和椭圆交于点，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。 设则，在中利用勾股定理便可获解。 变 式4：过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，满足，若，求该椭圆离心率。 分析：设 则，,所以,不能利用勾股定理，利用余弦定理便可解出。 备选练习题： 1、过椭圆左焦点的直线垂直于轴且交椭圆于点，若，求该椭圆的离 心率。 2、设M为椭圆上一点， ,为椭圆的焦点，如果 ，求椭圆的离心率。 求解离心率范围问题的几种思维策略 求圆锥曲线离心离的取值范围，是常见的一类问题。解题的关键是如何构造出关于离心率e的不等式。本文通过一例，给出求解这类问题的几种思维策略。 题 设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。 解法1：利用曲线范围 设P（x，y），又知，则 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得 解法2：利用二次方程有实根 由椭圆定义知 解法3：利用三角函数有界性 记 解法4：利用焦半径 由焦半径公式得 解法5：利用基本不等式 由椭圆定义，有 平方后得 解法6：巧用图形的几何特性 由，知点P在以为直径的圆上。 又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P 故有 离心率的五种求法 椭圆的离心率，双曲线的离心率，抛物线的离心率． 一、直接求出、，求解 已知圆锥曲线的标准方程或、易求时，可利用率心率公式来解2012年5月6日星期日决。 例1：已知双曲线（）的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 解：抛物线的准线是，即双曲线的右准线，则，解得，，，故选D 变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为、，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 解：由、知 ，∴，又∵椭圆过原点，∴，，∴，，所以离心率.故选C. 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D 解：由题设，，则，，因此选C 变式练习3：点P（-3，1）在椭圆（）的左准线上，过点且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A B C D 解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为，则解得，，则，故选A 二、构造、的齐次式，解出 根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率。 例2：已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 　　B. 　　C. 　　D. 解：如图，设的中点为，则的横坐标为，由焦半径公式， 即，得，解得 （舍去），故选D 变式练习1：设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得， 又, ∴,两边平方，得，整理得， 得或，又 ，∴，∴，∴，故选A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为，两个焦点为、，，则双曲线的离心率为（ ） A B C D