共线向量基本定理的引申与其应用.docVIP

共线向量基本定理的引申及其应用 一．问题提出 共线向量基本定理的内容是： 平面内两个向量和，若存在唯一实数λ，使得则和共线。 利用这一定理可以证明三点A,B,C共线，即存在唯一实数λ，使得且与同过始点A,，则A,B,C三点共直线。 ACB A C B O 问题1：已知A,B,C共直线l,O为直线外一点，且。 求证： 证明：∵A,B,C三点共线l,且 ∴ 则 问题2：已知A,B,C共直线l,O为直线l外一点，且有（λ和μ为实数）。求证：λ+μ=1 证明：∵A,B,C三点共线l ，则则 ∴令μ=1-λ则则λ+μ=1 通过以上两个互逆命题的得证，我们完全可以得出以下定理： 定理：在平面内，A,B,C共线的充要条件是：(O为平面上任意一点)，其中λ+μ=1。 特殊地，当B为AC中点时， 利用以上定理，能比较方便的解决很多有关向量的计算、证明问题。 二.定理在解题中的应用 BAEDC例1.（2013 B A E D C 若则λ1+λ2= . 高考解析是这样解的：由题意作如下图形： 解法一：∵在△ABC中 故 还可以这样来求解： 解法二：∵A为直线BC外一点，故设 由已知 故 从解法二可以看出，还可以将条件推广为点E为直线BC上任意一点，所求结果仍然不变。证明如下： 证明：∵点E为直线BC上任意一点，故设 又，且 , ∴ EODBAC例2：如图，已知 E O D B A C （1）用和表示向量 （2）若求实数λ的值。 解：（1）由已知点A为BC的中点， 则 故 （2）∵D,E,C三点共线，故设 ，由（1）则 解得∴λ= MBADCOFE例3 M B A D C O F E (1)用表示 (2)已知在线段AC上取一点E，在线段BDA上取 一点F,使EF过M点，设. 求证： 解：（1）由A,M,D三点共线，可设,又,， 同理，由C,M,B三点共线， ∴ ∴ ∴ （2）由E,M,F三点共线，设,由已知 则 PAOGBCQ由（1）∴ P A O G B C Q 例4：如图，△ABC中，G为它的重心，PQ的中心为G点， ，则 。 解：∵Q,G,P三点共线，故设 由已知， ,又由三角形重心的性质: 故∴∴ 例5．（江西五校:师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考）已知平面向量满足，且与的夹角为1200，，则的最小值是________________． 这道题若象下面的解法化为函数来解，则很麻烦： 解法一：由已知，且与的夹角为1200， = 令则上式=x2-2x+4=(x-1)2+3 ∴的最小值为3，故的最小值为. 如果利用向量减法的几何意义，画出如下图形 ACOC1B解法二：把与的始点移到同一点O A C O C1 B ∠DAB= 1200，则∠OAB= 600,注意到所求向量与的系数 和为1，故对应的向量始点为O，终点C必在直线AB 上移动，由向量膜的几何意义，当点C落在点C1时的 膜最小即线段OC1的长。在Rt△OAC1中，,∠OAB= 600, ∴∣OC1∣=.故的最小值为. 例6 （2014 天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=1200,点E,F分别在边BC、DC上，BE=λBC,DF=μDC, （ ） A B C D 试题分析：此类向量的问题，若从定义角度或几何的角度出发，对考生的思维层次要求较高，此时可以借助建立直角坐标系的方法，降低问题的难度，通过建立适当的直角坐标系，将向量的数量积坐标化即可。 解法一：建立如图所示的直角坐标系，故A（0,1），B，C（0，-1）， D,故 OEBAxF O E B A x F C D y 同理 ∵故 故 依题意，解得， 故，故选C. BA B A D F C E 解法二：由即B,E,C三点共线，可设 同理，可设 又∵代入上式化简可得：① 又由 又则② 联立①②可得：. 由此看来，在我们平时的教学、学习过程中，只要善于分析和研究教材，善于归纳总结，定能探究出对我们有用的一些结论和方法，为提高我们的解题能力，为赢得高考一定很有帮助。 参考文献： 人民教育出版社人教A版《必修4》