运筹学-线性规划新算法：椭球法及karmarkar算法名校讲义.ppt

第十三讲 线性规划新算法：椭球法及karmarkar算法 §1 新算法产生的背景 §2 椭球法思路 §3 Karmrkar算法思路 §1 新算法产生的背景 （1） 1．LP与单纯形——单纯形的黄金时代（二十世纪七十年代前） LP模型： Min z =CTX s.t AX≥b X≥0 单纯形算法把连续问题化离散问题 从一个基础可行点，沿边走到另一个更好可行点 单纯形算法为LP推广起到巨大推动作用 单纯形算法统治着LP，几乎LP等同于单纯形算法 x2 x1 P §1 新算法产生的背景 （2） 1972年前未遇到任何问题，人们也不想寻找其它方法 2．单纯形法遇到新挑战 ①?二十世纪七十年代，发现单纯形算法在理论上不是好算法。 (i)算法分类： P（多项式）算法:计算量随时规模增大呈多项式增长 （幂 函数）,例n2 NP(指数)算法:计算量呈指数增长,例2n 显然，P算法是好算法（这里指算法中的最坏情况） (ii)有人问LP的单纯形算法属何算法？ 理论上一直未证明出来  §1 新算法产生的背景 （3） 1972年，Klee构造1个反例，证明出现了指数算法 当起始点取为x1时，将走遍所有顶点（2n个） 人们开始寻找LP的P算法，2条路： §1 新算法产生的背景 （4） ② ?1979年苏联哈奇扬（khachian）提出椭球法 计算量O(n6L2) 引起轰动，但不实用 ③ 1984年，印度科学家karmarkar（在美国贝尔实验室工作） 提出算法：计算量O(n3.5L2) 平均计算量统计： 单纯形算法O(n) karmarkar算法O(lgn) §2 椭球法思路 （1） 1．变换问题提法： §2 椭球法思路 （2） 于是知，若有最优解，则构造的下述复合不等式必成立： 2．变换上述不等式 为 并试图求解。然后 构造一个大的球体，使其必包含不等式可行解（若存在的话） 对球心判断是否为可行解，若是，结束；否则，切割球 体，（切去肯定不包含可行解部分）直至找到可行解， 或证 明无可行解。 §2 Karmrkar算法思路（1） 1．出发点：与单纯形法不同，不沿边走，而从内部寻优。 1995年Frisch曾构造函数为： s.t AX=b 当xj→0，z→∞，而永不靠边走。但存在问题，收效慢 （中间点寻优方法属梯度法） §2 Karmrkar算法思路（2） 2．Karmarkar解决2个大问题。 ①定义目标势函数，按几何级数收敛，（属P算法） 变换原规划的最优解为0，使之第k次迭代值为： 构造势函数为：  §2 Karmrkar算法思路（3） 使变换中： ②从Xk点找下一点Xk+1点的关键是投影变换。记：  设a=(a1,a2,……an)T 是P中任一点（Karmarka算法中是 取某个可行点），设法把P+投影到n+1维空间的n维单纯 形去，且使a落到形心。 §2 Karmrkar算法思路（4） 对于任意X点，投到n维单纯形后的坐标为： （i=1，2，…，n） C B A xn x1 ? xn+1 ? a 形心