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9、三角形相似
一、【知识点梳理】
知识点一:比例线段
关键点拨与对应举例
比例
线段
在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
列比例等式时,注意四条线段的大小顺序,防止出现比例混乱.
2.比例
的基本性质
(1)基本性质:? ad=bc;(b、d≠0)
(2)合比性质:?=;(b、d≠0)
(3)等比性质:=…==k(b+d+…+n≠0)?
=k.(b、d、···、n≠0)
已知比例式的值,求相关字母代数式的值,常用引入参数法,将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示,再求代数式的值,也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母,再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.
例:若,则.
3.平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截,所得的对应线 段成比例.即如图所示,若l3∥l4∥l5,则.
利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时,注意根据图形列出比例等式,灵活运用比例基本性质求解.
例:如图,已知D,E分别是△ABC的边BC和AC上的点,AE=2,CE=3,要使DE∥AB,那么BC:CD应等于.
(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线),所得的对应线段成比例.
即如图所示,若AB∥CD,则.
(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.
如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
4.黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果eq \f(AC,AB)==eq \f(\r(5)-1,2)≈0.618,那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
例:把长为10cm的线段进行黄金分割,那么较长线段长为5(-1)cm.
知识点二 :相似三角形的性质与判定
5.相似三角形的判定
(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).
如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF.
判定三角形相似的思路:①条件中若有平行
线,可用平行线找出相等的角而判定;②条
件中若有一对等角,可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例;③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等;④条件
中若有一对直角,可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例;⑤条件中若有
等腰关系,可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例.
(2) 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 如图,若∠A=∠D,,则△ABC∽△DEF.
(3) 三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若,则△ABC∽△DEF.
6.相似
三角形的性质
(1)对应角相等,对应边成比例.
(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比的平方.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.
例:(1)已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为2,则△ABC与△DEF的面积之比为9:4.
(2) 如图,DE∥BC, AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4,则AF:AG=1:2.
7.相似三角形的基本模型
详见下面
(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形,可以迅速找到解题思路,事半功倍.
(2)证明等积式或者比例式的一般方法:经常把等积式化为比例式,把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后,通过证明这两个三角形相似,从而得出结果.
相似三角形的几种基本模型
1.如图:DE∥BC,则△ADE∽△ABC,称为“平截型”的相似三角形.
A
A
C
D
A
B
B
C
D
E
E
“A”字型 “X”型
2.如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“斜截型”的相似三角形.
3.“母子” (双垂直)型
射影定理:
由△ ∽△ ,得 ,即 ;
由△ ∽△ ,得 ,即 ;
ABCD由△ ∽△ ,得 ,即
A
B
C
D
“母子” (双垂直)型
4.如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形.
“旋转型”
5.一线“三等角”型
A
A
“K” 字(一线三直角)型
6.“半角”型
图1 :△ABC是等腰直角三角形,∠MAN=∠BAC,结论:△___
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