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3.3 卷积和 * 信号与系统 ?西安电子科技大学电路与系统教研中心 第3-*页 ■ 电子教案 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应 3.2 单位序列响应和阶跃响应 一、单位序列响应 二、阶跃响应 3.3 卷积和 一、序列分解与卷积和 二、卷积的图解 三、不进位乘法 四、卷积和的性质 点击目录 ,进入相关章节 第三章 离散系统的时域分析 3.1 LTI离散系统的响应 一、差分与差分方程 设有序列f(k),则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算,定义离散信号的差分运算。 1. 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式: 3.1 LTI离散系统的响应 (1)一阶前向差分定义:?f(k) = f(k+1) –f(k) (2)一阶后向差分定义:?f(k) = f(k) –f(k –1) 式中,?和?称为差分算子,无原则区别。本书主要用后向差分,简称为差分。 (3)差分的线性性质: ?[af1(k) + bf2(k)] = a ?f1(k) + b ?f2(k) (4)二阶差分定义: ?2f(k) = ?[?f(k)] = ?[f(k) – f(k-1)] = ?f(k) – ?f(k-1) = f(k)–f(k-1) –[f(k-1) –f(k-2)]= f(k) –2 f(k-1) +f(k-2) (5) m阶差分: ?mf(k) = f(k) + b1f(k-1) +…+ bmf(k-m) 因此,可定义: 3.1 LTI离散系统的响应 2. 差分方程 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列,得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程,若已知初始条件和激励,利用迭代法可求得其数值解。 例:若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解: y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。 3.1 LTI离散系统的响应 二、差分方程的经典解 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 与微分方程经典解类似,y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) 齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 其特征方程为 1 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ,即 λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 其根λi( i = 1,2,…,n)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时,齐次解yn(k)形式为: Cλk 当特征根λ为r重根时,齐次解yn(k)形式为: (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk 3.1 LTI离散系统的响应 2. 特解yp(k): 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1) 。 (1) 激励f(k)=km (m≥0) ①所有特征根均不等于1时; yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0 ②有r重等于1的特征根时; yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0] (2) 激励f(k)=ak ①当a不等于特征根时; yp(k)=Pak ②当a是r重特征根时; yp(k)=(Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak (3)激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e±jβ ; yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 例:若描述某系统的差分方程为
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