第三课时-导数构造函数-练习.docx

利用导数构造函数 回顾 (1)[f(x)±g(x)]′＝__________； (2)[f(x)g(x)]′＝______________； (3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f?x?,g?x?)))′＝______________ [g(x)≠0]． 构造函数 1．对于，构造 更一般地，遇到，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构 2．对于，构造 3．对于，构造 4．对于[或]，构造 5．对于，构造 6．对于，构造 变式1．设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式 　　 的解集为 变式2．已知函数是定义在R上的奇函数，，，则不等式的解集是 . 变式3. 已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有 成立，则不等式的解集是 ． 变式4. 设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时， ,则关于的不等式的解集为 变式5．定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式 （其中为自然对数的底数）的解集为 ． 变式6．已知函数（x）满足＝2，且在R上的导数，则不等式的解集为 ． 变式8．已知函数．若a，对任意，且，都有，求实数a的取值范围． 例．已知函数f(x)＝alnx＋eq \f(1,2)x2＋(a＋1)x＋1．若a＞0，且对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1≠x2，都有| f(x1)－f(x2)| 　　　＞2| x1－x2|，求实数a的最小值． 构造函数法证明不等式的六种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 回顾：不等式的恒成立问题和存在性问题 一 作差法构造函数证明 【例2】已知函数 求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方； 分析：函数的图象在函数的图象的下方问题， 【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。 二、换元法构造函数证明 【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 都成立. 分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。 【警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时，，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可． 三、从条件特征入手构造函数证明 【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x－恒成立，且常数a，b满足ab，求证：．ab 【解】由已知 x+0 ∴构造函数 ， 则 x+0， 从而在R上为增函数。 ∴ 即 ab 【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 四、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例．已知函数 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x＞0时,f(x)1+x 小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题．不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法． 五.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当 六.构造形似函数 例：证明当 例：已知m、n都是正整数，且证明： 【思维挑战】 1、（2007年，安徽卷） 设 求证：当时，恒有， 2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 其中a0，且， 求证： 3、已知函数，求证：对任意的正数、， 恒有 4、（2007年，陕西卷）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a b，则必有 （ ） （A）af (b)≤bf (a) （B）bf (a)≤af (b) （C）af (a)≤f (b) （D）bf (b)≤f (a)