微分方程-考研.doc

常微分方程 §1 一阶微分方程 SKIPIF 1 0 【大纲基本要求】 了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 掌握变量分离微分方程及一阶线性微分方程的解法. 会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程. 基本概念 定义（微分方程）含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程. 注：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程，我们以后讨论的只是常微分方程，简称微分方程. 定义（微分方程的阶）微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 定义（微分方程的解）如果能找到这样的函数，把它代入微分方程，能使该方程成为恒等式，称这个函数为该微分方程的解.若解中含有任意常数，当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时，该解叫做通解（或一般解）；不含有任意常数的解叫做特解. 定义（初值问题）用来确定通解中任意常数的定解条件中最常见的是初始条件，求n阶微分方程的一个解，使它满足预先给定的初始条件的问题，称为微分方程的初值问题. 二、一阶微分方程的分类及其解法 变量分离微分方程 形如 SKIPIF 1 0 的一阶微分方程，称为变量分离微分方程. 解法：对变量分离微分方程，分离变量后两边积分 SKIPIF 1 0 ， 便可求得其通解. 2. 可以化为变量分离方程的微分方程 （1）齐次微分方程.形如 SKIPIF 1 0 的微分方程中 SKIPIF 1 0 可以写成 SKIPIF 1 0 的形式，我们称这类微分方程为齐次微分方程. 解法： 对 SKIPIF 1 0 ，做变换 SKIPIF 1 0 ， 则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，代入方程得 SKIPIF 1 0 ，化为变量分离微分方程求解. （2）形如 SKIPIF 1 0 是可化为齐次的方程. 解法： 情形1：若 SKIPIF 1 0 则令方程化为齐次微分方程. 情形2：若 SKIPIF 1 0 则 SKIPIF 1 0 通解为 SKIPIF 1 0 . 情形3：若 SKIPIF 1 0 则令 SKIPIF 1 0 从而 SKIPIF 1 0 . 情形4：方程化为齐次微分方程. SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 待定. 于是 SKIPIF 1 0 ，从而原方程化为 SKIPIF 1 0 . 如果方程组 SKIPIF 1 0 有解，那么可以定出 SKIPIF 1 0 ， 使上式变为 SKIPIF 1 0 ，然后化为齐次微分方程求解. 3. 一阶线性微分方程 形如 SKIPIF 1 0 的微分方程称为一阶线性微分方程.如果 SKIPIF 1 0 恒等于零，称方程为齐次的，如果 SKIPIF 1 0 不恒等于零，称方程为非齐次的. 解法1：常数变易法.在求得其对应的齐次方程的通解 SKIPIF 1 0 ，将解中的常数C变易为x的函数C(x).即 SKIPIF 1 0 ，其中C(x)是待定的函数，对 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， 两端积分后得 SKIPIF 1 0 ， 于是方程的通解为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 解法2：直接用公式求通解 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 . 4．可以化为一阶线性方程的微分方程--伯努利方程 形如 SKIPIF 1 0 的微分方程称为伯努利方程. 解法：做变量代换： SKIPIF 1 0 化原方程为 SKIPIF 1 0 这是一阶线性微分方程，可用上述一阶线性微分方程求出关于 SKIPIF 1 0 的通解， 再将 SKIPIF 1 0 换成 SKIPIF 1 0 便可得到 SKIPIF 1 0 的通解. 5 全微分方程 若 SKIPIF 1 0 则称形如 SKIPIF 1 0 的微分方程为全微分方程. 解法： SKIPIF 1 0