条件机率与贝士定理.doc

PAGE PAGE ４ §條件機率與貝氏定理 主題1：條件機率 1.定義：設A、B為樣本空間S中之任一事件，且設。在假設事件B發生之下，事件A發生之條件機率，以表示，即 2.條件機率的性質： 設A, B, C為樣本空間S中之任意三事件，且設，則有 (1)。 (2)。 (3)。 (4)。 (5)。 (6)若，則。 3.條件機率的乘法定理： ∵ 將之推廣得：設為n個S中的事件，且，則：???。 ※重要範例 1.設A，B為樣本空間S中的二個事件，A發生之機率為P(A)，若P(A) ?，P(B) ?，P(A ? B) ?，則P(A? | B ?) ?　　　　　。 【解答】 【詳解】∵　P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ? P(A ? B) ????∴　P(A ? ? B ?) ?1 ? P(A ? B) ?1 ??故P(A ? | B ?) ???? 2.設A，B為二事件，P (A) ?，P (B) =，P (A ? B) ?，試求：(1) P (P | A)。　(2) P (A | B)。　(3) P (A? | B?)。 【解答】(1)　(2)　(4) 【詳解】 (1) P (A ? B) ? P (A) ? P (B) ? P (A ? B) ?????，P (B | A) ???(2) P (A | B) ???(3) P (A? | B?) ???? 隨堂練習.若A，B為兩事件，P(A ? B) ?，P(A ? B) ?，P(B ?) ?，則P(B ? | A) ?　　　　　。 【解答】 【詳解】∵　P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ? P(A ? B)　∴　 ? P(A) ? (1 ?) ?　?　P(A) ?故P(B ? | A) ????? 隨堂練習.設A，B表二事件，若P (A ? B) ?，P (A?) ?，P (A ? B) ?，則P (A ? B) ? 　　　　　，P (B? | A) ? 　　　　　。 【解答】，【詳解】P (A) ? 1 ? P (A?) ? 1 ??，P (A ? B?) ? P (A ? B)P (A ? B) ? P (A) ? P (A ? B) ???，P (B? | A) ??? 3.擲一枚公正硬幣四次，A表示第二次出現正面的事件，B表示至少兩次出現正面的事件，則P (A ? B) ? 　　　　　，P (A | B) ? 　　　　　。 【解答】， 【詳解】P (B) ?(C? C? C) ?，P (A ? B) ?(C? C? C?∴　P (A | B) ??．? 隨堂練習. 投擲一公正骰子三次，令A表三次出現點數和為12的事件，B表第一次擲出偶數點的事件，則(1) P(A) ?　　　　　。　(2) P(B ? | A) ?　　　　　。 【解答】(1)　(2) 【詳解】(1)點數和為12的情況有(6，5，1)排列數為3! ? 6，(6，4，2)排列數為3! ? 6，(6，3，3)排列數為? 3(5，5，2)排列數為? 3，(5，4，3)排列數為3! ? 6，(4，4，4)排列數為? 1∴　共有6 ? 6 ? 3 ? 3 ? 6 ? 1 ? 25種，故P(A) ??(2) P(B ? | A) ??A ? B表第一次偶數且點數和為12的事件，其個數有：( 6，5，1)個數有2! ? 2，( 6，4，2)個數有3! ? 6，( 6，3，3)個數有1( 2，5，5)個數有1，( 4，5，3)個數有2! ? 2，( 4，4，4)個數有1∴　n (A ? B) ? 2 ? 6 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 13　?　P(A ? B) ??故P(B ? | A) ?? 4.某品牌之燈泡由A廠及B廠各生產30％及70％，A廠生產的產品中有1％瑕疵品；B廠生產的產品中有5％瑕疵品。某日退貨部門收一件瑕疵品，則下列敘述那些是正確的？(A)猜此瑕疵品是由A廠製造的，猜對的機率較大　(B)猜此瑕疵品是由B廠製造的，猜對的機率較大　(C)此瑕疵品由A廠製造的機率為　(D)此瑕疵品由A廠製造的機率為　(E)此瑕疵品由B廠製造的機率為。 【解答】(B)(C) 【詳解】設D表瑕疵品的事件則P(A | D) ??，P(B | D) ?? 隨堂練習.某工廠有A，B，C三部機器生產同一產品，產量分別占全部的，，，而這三部機器的不良品分別占其產量的3％，5％，4％，今任取一產品。(1)求此產品為不良品的機率。　(2)若此產品為不良品，求其為A機器所生產的機率。 【解答】(1)　(2) 【詳解】(1)．?．?．?(2) (．) ?? 5.學生舉行法律常識測驗時，答對的情況有兩種，一種是會做而答對，一種是不會做而猜