【初数】几何专题课程共9讲第07讲正方形与弦图-5月6日-周三-10点15-黄欣欣.doc

实用文档 文案大全 第七讲：正方形与弦图 第七讲：正方形与弦图 知识点睛 知识点睛 一、正方形的弦图 早在一千三百多年前，我国著名的数学家赵爽巧妙的借助面积，证明了勾股定理，下图（左）就是赵爽证题时用到的图形，史称“弦图”；此图不仅构造巧妙美观，而且还蕴含着不少“玄机”： F F G H A B D E C O P R Q 易知△AEF、△RFE、△DFG、△OGF、△BHE、△QEH、△PHG、△CGH都全等． 其中我们把正方形的弦图分为内弦图和外弦图（见下图）．通常情况下，弦图中垂直往往对应着全等，由全等得出对应边相等，对应角相等． 由三角形全等，可知他们的面积相等，设它们的面积都为a，则，，于是可得出如下结论： 正方形的弦图可以推广延伸到矩形和平行四边形中去，见（右）图： 易知 FG F G H A B D E C O P R Q 例题精讲 例题精讲 正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接AP，分别过B、D两点作BE⊥AP，DF⊥AP，垂足为E、F，如图①（1）请你通过观察或测量BE、DF、EF的长度，然后猜想它们之间的数量关系．若点P在DC的延长线上，如图②，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系？若P在DC的反向延长线上，如图③，这三条线段长度之间又具有什么样的数量关系；请分别直接写出结论．（2）请在（1）中的三个结论中任意选择一个加以证明．  如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．求证：四边形EFGH是正方形． 如图，E是BC上的一点，，且Rt△ABE≌Rt△ECD．（1）求证：△AED是等腰直角三角形；（2）若△AED的面积是，△ABE的面积是6，求△ABE的周长．  如图，已知点E、F、G、H分别在正方形ABCD的各边上，且，AF、BG、CH、DE分别相交于点、、、．求证：四边形是正方形． 如图，有4个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的4个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动．（1）判定四边形PQEF的形状；（2）PE是否总是经过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小、最大？各是多少？  如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是线段BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，求证：，并说明理由；（3）当E点在CB的延长线上时，如图（2），连接FC，则∠FCN等于多少度？请说明理由．  （1）如图（1）正方形ABCD中，AE⊥BF于点G，试说明．（2）如果把线段BF变动位置如图（2），其余条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．（3）如果把AE与BF变动位置如图（3），结论还成立吗？请说明理由．  （2009?威海）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，，连接EG，FH，交点为O．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，cm，则图3中阴影部分的面积为_______cm2．  （1）已知△ABC是等腰直角三角形，现分别以它的直角边BC、斜边AB为边向外作正方形BCEF、ABMN，如图甲，连接MF，延长CB交MF于D．试观测DF与DM的长度关系，你会发现__________（2）如果将（1）中的△ABC改为非等腰的直角三角形，其余作法不变，如图乙，这时D点还具有（1）的结论吗？请证明你的判断．（3）如果将（1）中的△ABC改为锐角三角形，仍以其中的两边分别向外作正方形，如图丙，则应在图中过B点作△ABC的______线，它与MF的交点D恰好也具有（1）的结论．请证明在你的作法下结论的正确性．  如图1，在△ABC和△ADE中，，，．（1）求证：；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．  （2005?河北）操作示例：对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED是正方形；②．实践与探究：（1）对于边长分别为a，b（）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N；①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图2中，