北京师范大学2016～2017学年第一学期期末考试试卷（A卷）.PDF

北京师范大学2016 ～2017 学年第一学期期末考试试卷（A 卷） 课程名称： 偏微分方程 任课老师姓名： 保继光 卷面总分： 100 分 考试时长： 120 分钟 考试类别：闭卷 开卷 其他 院（系）： 专业： 年级： 姓名： 学号： 题号 一 二 三(1) 三(2) 四 总分 得分 阅卷老师（签字）： 一 填空题分 偏微分方程起源于 (1) 世纪. 从历史上看, 偏微分方程的重要源泉是 (2) 与 (3) . 上世纪末以来, 偏微分方程又在备受关注的生物数学、金融数学与图像处理等领 域大量出现, 在很大程度上推动了科学、技术、工程、社会的进步. G.Perelman 证 明 (4) 和A.Einstein预言 (5) 就是应用偏微分方程的著名例子. 以各种现实情境和科学情境为背景的偏微分方程是形式多样的. 我们根据阶数和线 性性将它们分类. 如: 几何分析中的Yamabe方程∆u = u (n 3)是 (6) 阶 (7) 线 性方程; 图像处理中的膨胀方程u = supy Du(x, t) y , y 1是 (8) 阶 (9) 线 性方程. 我们主要研究了位势方程边值问题, 热传导方程、波动方程初边值问题和Cauchy 问 题解的适定性, 即解的 (10) 、 (11) 和 (12) . Green函数法、行波法、球面平均法、 积分变换法和 (13) 等都是求解这些定解问题的重要方法; (14) 或 (15) 是研究解唯 一性和稳定性的有效手段. 二. 简答题(30分): 1. 为什么说位势方程、热传导方程、弦振动方程是分别是椭圆型、抛物型、双曲 型方程最简单、最典型的代表？ 2. 写出二维Laplace方程的基本解和它的导函数, 以及上半平面的Green函数. 3. 写出一个初边值问题的Duhamel(齐次化)原理. 2 4. 设a是常数, f (x, t), φ(x)是已知函数, 请写出非齐次热传导方程Cauchy 问题 2 u = a u + f (x, t), x +, t 0, u(x, 0) = φ(x), x + 关于x进行Fourier变换后的常微分方程初值问题. 5. 在Laplace方程Dirichlet 问题 u + u = 0, 1 x 1, 1 y 1, u(x, 1) = 0, 1 x 1, u(1, y) = φ(y), u(1, y) = 0, 1 y 1 中, 当解u属于C2 ([1, 1] [1, 1])时, 边值φ(y)必须满足什么条件? 三. 计算题(26分): 3 1. 化简二阶线性偏微分方程xu x u u = 0, 并求出它的通解.