第2-3-4高等数学课件.PPT

本次课程的主要内容 * * * §3 函数的连续性； 一、函数在x0连续的定义 在x0连续 在x0间断 在x0间断 (1) (2) (3) f(x0) A B A (1) f(x)在x0处有定义,即f(x0)存在 (2)在x0处的极限存在 (3)在x0处的极限值等于该点的函数值 否则,函数在该点处间断 2.设P(x),Q(x)为多项式函数,令 则有: 在x0处连续 在x0处连续 例如: 基本初等函数 若 其定义域为： 有： 3. 在x0处连续 判断下列函数在x=1的连续性 由连续定义可知： 那么： 令： 称为x在x0处的改变量 称为函数y的相应改变量 函数在x0处连续可以定义为： 设函数 在 上有定义, 如果当 自变量x在x0处取得的改变量 趋于零时, 函数 相应的改变量 也趋近零,即 则称函数f(x)在x0处连续. 如果 则称函数在 右连续。 如果 则称函数在 左连续。 .函数在区间上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 如果函数f(x)在(a,b)上每一点都连续,则称函数 f(x)在区间(a,b)上连续, (a,b)称为f(x)的连续区间. 在a处右连续是指: 在b处左连续是指: 连续区间为[a,b] 例如, 定理1 若 那么 定理2 严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数 ． 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 反函数的连续性 定理3 复合函数的连续性: 设函数 在点x=x0处连续, 而函数 在点 处连续, 则复合函数 在点x=x0处连续,即: 由函数的连续性可知: 例3：计算： 证明： 左端= =lne=1=右端 函数y=lnx在极限 值e处连续 初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 例如: 定义域为孤立点的集合.函数不连续. 根据函数的连续性，我们可以方便地求出 函数f(x)在某连续点x0处的极限 基本初等函数在其定义域内都是连续的. 例设 确定a,b的值， 在 内连续。 使得 解：由题可知： 当 时， 连续 当 时， 所以 时 在 处连续 当 时， 所以 时 在 处连续 时 在 上连续 综上可知当 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值. 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 闭区间上连续函数的性质 如图: f(x)在[a,b]上 连续, M m 在 处取得最 大值, 在 处取得最 小值. 零点定理与介值定理 定义: . ) ( , 0 ) ( 0 0 0 的零点 称为函数 则 使 如果 x f x x f x = 几何解释: 几何解释: M B C A m a b 证 由零点定理, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值. 例1 证 由零点定理, 例:设函数 在[a,b]上连续, 为[a,b]上 的两个点,证明:在[a,b]上至少存在一点 使 证明: 在[a,b]上连续, 在[a,b]存在最大值M 和最小值m . 设： 即: 若: 或 那么：令 若： 由介值定理可知： 至少存在 使得： 作业: 1.预习 导数与微分 2.练习: 习题2-7 习题2-8 3.思考题 雪花分形过程中的周长与面积的变化趋势 观察雪花分形过程: 雪花分形过程中的周长与面积的变化: 第一次分叉： 依次类推 播放 设正三角形: 周长: 面积: 周长： 面积： 第2次分形： 周长： 面积： 第3次分形： 周长： 面积： 周长为 面积为 第 次分叉： 于是有 结论：雪花的周长是无界的，而面积有界． 雪花的面积存在极限（收敛）．