第2-1-2高等数学课件.PPTVIP

本次课程的主要内容 无穷小量的阶定义 §2函数的极限与性质； §3无穷小与无穷大 0 y=1 （1）自变量趋向无穷大量时函数的极限 2.函数极限的定义 当 时 任意给定 (无论它多么小) -M M 当 时 成立。 定义 注意： 例：利用极限定义证明 证明： 任意给定 (无论它多么小) 若要: 只需: 取M= 当 时, 恒有： 由极限定义可知 例 证 两种情形: 3.自变量趋向x0时函数的极限 观察函数 当x趋近于1/2时,函数的变化 趋势 0 1/2 2 当x无限接近1/2时, 无限趋近2 即: 可以任意小 任意给定 当 时 极限值不一定等于函数值。 注意： 例：利用极限定义证明 证明： 任意给定 (无论它多么小) 若要: 只需: 取： 当 时, 恒有： 由极限定义可知 左极限 右极限 记为： 记为： 定理： 两种特殊情况： 左右极限存在但不相等, 例6 证 邻域: 用邻域描述 极限定义。 基本初等函数 若 其定义域为： 那么： §3.无穷小与无穷大 定义1：如果函数 当 时的极限为 为当 时的无穷小 零，那么称函数 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 定理1： 在自变量的同一变换过程 中，函数 有极限A的充分必要条件条件是 ，其中 是无穷小 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); 定理2：两个无穷小的代数和为无穷小，即 那么 结论可以推广到有限个无穷小的代数和为无穷小 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 例： 解 先变形再求极限. 定理3：有界函数乘无穷小为无穷小，即 那么 推论: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 定理4：两个无穷小的乘积为无穷小，即： 那么 结论可以推广到有限个无穷小的乘积为无穷小 都是无穷小 定义2：如果函数 在 对任意给定的常数M(无论它多么大)，一定存在 那么称函数 为当 时的无穷大 变化过程中， 某一时刻，在这个时刻以后恒有 记为： 或 即: 即: 定理4(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 观察: 1 0.25 0.01 0.0001 0.000001… 0 x2 2 1 0.2 0.02 0.002 … 0 2x 1 0.5 0.1 0.01 0.001 … 0 x 定义3: 设 是同一过程中的两个无穷小量 如果: 则称 比 较高阶无穷小量 记为: 如果: 则称 与 是等价无穷小量 记为: 如果: 则称 是比 较低阶无穷小量 如果: 则称 与 同阶无穷小量 例如: 比 较高阶无穷小量 是 同阶无穷小量 作业 1.预习:极限运算法则.准则与连续 2.习题2-2 习题2-3