第2－2-3高等数学课件.PPT

函数与极限 本次课程的主要内容 §4极限的运算法则 求极限方法举例 例: 例:极限的换元法 两个重要极限 * §4极限的运算法则; §5极限存在准则. 两个重要极限 定理 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 例1 解 多项式函数 有理函数 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例若 且 证明 若 且 证明 证明：反证若 那么 若 那么 故： 矛盾 矛盾 解 例4 解 注意： 极限过程. 4 2 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子、分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例6 解 商的极限存在，必须 ， 解得 ， . 左边= 计算 解: 原式= 例9 解 左右极限存在且相等, 分段函数在分段点处的极限要用左右极限讨论。 解: 令 原式= 计算 当 时,有 注意: 极限过程应当作相应的变换 令 换成 =A 例：求极限 §5 极限存在准则与两个重要的极限 （一）极限存在的两个准则 定理： 如果在某个变化过程中，有三个变量x、y、z 总有关系 且 则 （夹逼准则） 例求 解：因为 那么： 而： 故：由夹逼定理 例 解 由夹逼定理得 单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例如： 函数有类似的性质. 0 1 例: 证 设 则 故: 即: 证明数列： 极限存在 (舍去) 设 小结： （1）判断数列极限的存在性 单调 有界 （2） 设 解方程求A (1) 注意： （1）极限过程是 （2） 三个括号内的一致性 即： 0 故 例：求极限 解： 原式= =1 例：求极限 解： 原式= =k 例3 解 例设 若 存在，求 的值 因为 存在， ，即 解： 所以： (2) 我们取正值观察 x 10 102 103 106 2.5937 2.7048 2.71692 2.7182813 注意： 1、极限过程 2、在x的变化过程中，函数的形式 3、一致性问题 例4 解 令: 那么 原式= 例：求 解： 原式= * *