第3-1-5高等数学课件.PPTVIP

例： 第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分 如图, 取极限得 自由落体运动s= 的瞬时速度问题 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 §1 导数的概念 (一).导数的定义 1.函数 在x0处的导数. 定义: 设函数 在点x0的某个邻域内有定义, 当自变量在点x0处取得改变量 时,函数 取得相应的改变量 如果当 时, 的极限存在,即: 则称此极限值为 在点x0处的导数(或微商) 记为: 说明: 1. 两种表达形式: 2.导数的解释 2).物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 称为[t, t0]上的平均速度. 1).几何意义 切线方程为 曲线上一点处切线的斜率 3.函数f(x)在x0处左右可导的定义: 由: 得: 或: 常用于判断分段函数在分段点处的可导问题 例:求 在x=2,3处的导数 解: =4 此函数在任意点处的导数为 导函数 注意: 2.区间上的导数. (二)由定义求导数 步骤: 例1 解 例2 解 同理： 例3 解 一般地： 例如, 例4求指数函数 的导数 解： 即： 特别地： 例5求指数函数 的导数 解 即： 特别地： 常用函数的导数： 特别地： 特别地： (三)可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 注意: 该定理的逆定理不成立. 例 解 尖点不可导 讨论函数 在 处的连续性与可导性 1 2 0 解： (1)在 处 -1 0 不存在 函数在x=0处不连续 且不可导 (2)在x=1处 2 2 函数在x=1处连续 又: 函数在x=1处可导 (2)在x=2处 5 函数在x=2处连续 又: 函数在x=2处不可导. 5 4 不存在 例:设 问a,b为何值时,函数f(x)在x=0处可导? 解: 由f(x)在x=0处连续,得 得 又f(x)在x=0处可导 例设 在 处连续，且 ，求 解：因为函数在x=2处连续 由导数的定义： 例设曲线 在点（1，1）处的切线与x轴的 ，求 交点为 解：求过（1，1）点的切线的斜率为： 切线为： 切线与x轴的交点 ，即 作业: 1.预习 第3章§2, §3 §5 2.练习: 习题3-1 5—17