第4-2-9次高等数学课件.PPT

斜渐近线求法: 这是因为 若a=0,a=∞,或不存在, 则无须计算b 而 解 例 (1)讨论垂直渐近线 （二）作出函数的图象 例1 解: 非奇非偶函数,且无对称性. 令 得 下面列表讨论 间断点 极大值 极小值 渐近线 下凹. 下凹. 上凹. 上凹. 例3 解 偶函数, 图形关于y轴对称. 下面讨论x≥0的情况 极大值 拐点 列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点: 拐点 作业： 1.预习 第五章 1-2节 2.练习 习题4-3 8 本次课程的主要内容: 利用导数研究函数的形态: 单调性 凹向性 图形 利用导数研究最优化问题 最大值 最小值 §3导数的应用 定理 定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立. 一.单调性 例 解 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性． 二. 函数极值 (一).极值的定义 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. (二)、函数极值的求法 定理1(必要条件) 分析: 极大值 有: 故: 定义 注意: (是极值点情形) 定理2(第一充分条件) 设f(x)在x0的某邻域. 内连续且可导(但 可以不存在) 求极值的步骤: (不是极值点情形) 例 解 例 解 列表讨论 极大值 极小值 图形如下 定理3(第二充分条件) 证 同理可证(2). 存在x0的一个邻域,有: 验证例1 解 ＜0 ＞0 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值) 注意:如果函数在闭区间 上单调,则端点处的函数值即是函数的最值. x y 0 x0 最大值与最小值,极值的应用问题 例2: 将边长为a的一块正方形铁皮,四角各截去 一个大小相同的小正方形,然后将四边折起,做 成一个无盖的方盒,问截掉的小正方形的边长 为多大时,所得方盒的容积最大? 解: a x 设小正方形的边长为x,容积为V 定义域 由此推出: 由极值定理可知： 三、曲线凹凸的性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 定义 (二)、曲线凹凸的判定 定理1 上凹 下凹 例1 解 注意到, 特点是：在（0,0）点的左右二阶导数异号 向性 下凹 上凹 下凹变上凹的分界点 (三).曲线的拐点及其求法 定义 注意: (1)拐点一定是使得函数有意义的点 (2)在拐点的左右二阶导数异号 (3)若(x0,f(x0))是曲线的拐点,则在拐点处有 例2 解 上凹 下凹 上凹 拐点 拐点 在讨论函数性态时首先考虑定义域 例4 解 上凹 下凹 四.利用导数画函数的图象 （一）函数的渐近线 定义: 下面分三种情况讨论： 1.水平渐近线 y 0 x b y=b为水平渐近线 0 x y b y=b为水平渐近线 0 x y b y=b为水平渐近线 例如 有水平渐近线两条: 0 y x 1.铅直渐近线 0 y x x=a 0 y x x=a为垂直渐近线 x=a x=a为垂直渐近线 0 y x x=a x=a为垂直渐近线 x=a是使得f(x)无意义的点，若f(x)在讨论的范围 内都有意义则无须讨论垂直渐近线 例如: x=2为垂直渐近线 因为定义域为R,所以f(x)没有垂直渐近线 3.斜渐近线 0 x y y=ax+b x y=ax+b是f(x)的斜渐近线