圆压轴八大模型题1弧中点的运用.docVIP

圆压轴题八大模型题（一） 泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型1 弧中点的运用 在⊙O中，点C是 EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AD)的中点，CE⊥AB于点E. （1）在图1中，你会发现这些结论吗？ ①AP＝CP＝FP； ②CH＝AD； ②AC2＝AP·AD＝CF·CB＝AE·AB. （图1）（2）在图2中，你能找出所有与△ABC相似的三角形吗？ （图1） 【分析】 (1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：∠CAD＝∠B＝∠ACE;∠PCF＝∠PFC,所以AP＝CP＝FP. （图2）(1)②由垂径定理和弧中点的性质得， EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),DC)＝ EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AC)＝ EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AH),再由弧叠加得： EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),CH)＝ EQ \o\ac(\S\UP7(⌒),AD),所以CH＝AD. （图2） (1)③由共边角相似易证：△ACE∽△ABC,△ACP∽△ADC,△ACF∽△BCA,进而得AC2＝AE?AB;AC2＝AP?AD;AC2＝CF?CB; (2)垂径定理的推论得：C0⊥AD,易证：Rt△ABC∽Rt△ACE∽Rt△CBE∽Rt△ACF∽Rt△BDF∽ Rt△ACG∽Rt△CGF. 此外还有Rt△APE∽Rt△AOG∽Rt△ABD∽Rt△CPG.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题. 建议：将下列所有例题与习题转化到图1或图2上观察、比较、思考和总结。 【典例】 （2018·湖南永州）如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，＝，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若cos∠ABE＝，在AB的延长线上取一点M，使BM＝4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线． （图1-1）【分析】（1）延长CD与圆相交，由垂径定理得到＝，再由＝得到＝＝，等弧所对的角相等，等角对等边。（2）由垂径定理的推论得OC⊥ （图1-1） BE，再由锐角三角函数得到边BH、OH的长度，由对应边成比例得BE∥CM，由∠MCO＝∠BHO＝90°证得结论。 证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图， ∵CD⊥AB，∴＝， ∵＝，∴＝， ∴∠CBE＝∠GCB，∴CF＝BF； （图4）（2）连接OC交BE于 （图4） ∵＝，∴OC⊥BE， 在Rt△OBH中，cos∠OBH＝＝， ∴BH＝×6＝，OH＝＝， ∵＝＝，＝＝， ∴＝，而∠HOB＝∠COM， ∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM＝∠OHB＝90°， ∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线． 【点拔】 弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。再结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。可以组合出综合性比较强的有关的习题组。抓边等角等是关键，要善于分解图形。 【变式运用】 （图1-2）1.（2018·四川宜宾）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若＝，则＝　　．（） （图1-2） 2.（2010·泸州）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC。(1)求证：AE⊥DE；(2)设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD＝5，AE＝8，求值。 证明：在?ABCD中， ∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180° ∵AE与DE平分∠BAD和∠ADC （图1-3）∴∠EAD＝∠BAD，∠EDA＝∠ADC （图1-3） ∴∠AED＝180°－（∠EAD＋∠EDA） ＝180°－（∠BAD＋∠ADC） ＝180°－（∠BAD＋∠ADC） ＝180°－90°＝90° ∴AE⊥DE （2）解：在?ABCD中，∵AD∥BC ∴∠EAD＝∠AEB，且∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE， 同理：DC＝EC＝5 又∵AB＝DC，∴AB＝BE＝ DC＝EC＝5， ∴BC＝AD＝10 在Rt△AED中，由勾股定理可得： DE＝ ∵∠BAE＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90° ∴△AFG∽△AED， ∴ 3. （2012·泸州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于